(Questão 5)[2,00]
Prove: u+alpha v+beta w, v+gamma w, w= u, v, w).

Passo 1

O enunciado pede para provar que o produto misto
[u+alphav+betaw,;v+gammaw,;w] ;=; [u,,v,,w]
Aqui o conteúdo é o produto misto de três vetores em R^3, que coincide com o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores. Vamos usar as propriedades de multilinearidade (linear em cada argumento) e de aniquilação quando dois vetores coincidem.

Passo 2

Aplicando a propriedade de linearidade no primeiro argumento, escrevemos
[u+alphav+betaw,;v+gammaw,;w] = [u,,v+gammaw,,w] ;+; alpha,[v,,v+gammaw,,w] ;+; beta,[w,,v+gammaw,,w]

Passo 3

Cada um dos produtos mistos nos termos com coeficientes alpha e beta se anula porque eles têm vetores repetidos:
[v,,v+gammaw,,w] = [v,,v,,w] +gamma[v,,w,,w] =0+0=0,
[w,,v+gammaw,,w] = [w,,v,,w] +gamma[w,,w,,w] =0+0=0

Passo 4

Fica então
[u+alphav+betaw,;v+gammaw,;w] = [u,,v+gammaw,,w]
Agora expandimos no segundo argumento:
[u,,v+gammaw,,w] = [u,,v,,w] +gamma[u,,w,,w] = [u,,v,,w]+0

Passo 5

Portanto só sobra
[u+alphav+betaw,;v+gammaw,;w] = [u,,v,,w],
como queríamos demonstrar.

Resposta

[u+alphav+betaw,;v+gammaw,;w] = [u,,v,,w]

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