(Questão 5)[2,00]
Prove:
=
).
Passo 1
O enunciado pede para provar que o produto misto
Aqui o conteúdo é o produto misto de três vetores em
, que coincide com o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores. Vamos usar as propriedades de multilinearidade (linear em cada argumento) e de aniquilação quando dois vetores coincidem.
Passo 2
Aplicando a propriedade de linearidade no primeiro argumento, escrevemos
Passo 3
Cada um dos produtos mistos nos termos com coeficientes
e
se anula porque eles têm vetores repetidos:
Passo 4
Fica então
Agora expandimos no segundo argumento:
Passo 5
Portanto só sobra
como queríamos demonstrar.