Dada as matrizes:
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 0 & -1 \\\\ 3 & 0 & 2 \\\\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right] \quad D=\left[\begin{array}{rrrr} 3 & -1 & 5 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right]
Calcule a matriz inversa, usando a sua matriz-linha reduzida à forma escada. Exemplo:
A \vdots I_{n} \rightarrow I_{n} \vdots A^{-1}

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes quadradas e pede para calcular a matriz inversa de cada uma usando redução por linhas (Gauss–Jordan) no formato
A \vdots I_n \rightarrow I_n \vdots A^{-1}.
As matrizes fornecidas são (copiadas do enunciado):
A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\[4pt]0 & 1 & 2\\[4pt]1 & 1 & 1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 2\\[4pt]0 & 1 & 2\\[4pt]1 & 3 & 4\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}2 & 0 & -1\\[4pt]3 & 0 & 2\\[4pt]4 & -3 & 7\end{bmatrix},\quad D=\begin{bmatrix}3 & -1 & 5 & 0\\[4pt]0 & 2 & 0 & 1\\[4pt]2 & 0 & -1 & 3\\[4pt]1 & 1 & 2 & 0\end{bmatrix}.
O que é pedido em cada caso:
  • Calcular A^{-1}.
  • Calcular B^{-1}.
  • Calcular C^{-1}.
  • Calcular D^{-1}.
Informações relevantes: para cada matriz será construída a matriz aumentada \,M=[\text{matriz}\,|\,I_n]\, e aplicadas operações elementares por linhas até obter [I_n\,|\,\text{inversa}]. As operações elementares são:
  • multiplicar uma linha por escalar não nulo,
  • trocar duas linhas,
  • somar múltiplos de uma linha a outra.
    Essas operações preservam (quando feitas simetricamente no bloco da direita) a equivalência que nos fornece a inversa quando o bloco esquerdo vira I_n.]

Passo 2

Resolver A^{-1} por Gauss–Jordan.
Começo pela matriz aumentada \,[A\!:\!I_3]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Operações (explicando cada uma):
  1. Eliminar 1 em (3,1) usando R_3\leftarrow R_3-R_1:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Zerar a coluna 2 da primeira linha usando R_1\leftarrow R_1-2R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -3 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Tornar nula a entrada (3,2) somando R_3\leftarrow R_3+R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -3 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right].
  1. Obter pivô 1 em (3,3) dividindo R_3 por 2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -3 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].
  1. Eliminar coluna 3 das linhas 1 e 2:
  • R_1\leftarrow R_1+3R_3 produz R_1 com bloco direito \bigl[1+3(-\tfrac{1}{2}),\\\ -2+3\cdot\tfrac{1}{2},\\\ 0+3\cdot\tfrac{1}{2}\bigr]=\bigl[-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\bigr].
  • R_2\leftarrow R_2-2R_3 produz R_2 com bloco direito \bigl[0-2(-\tfrac{1}{2}),\\\ 1-2\cdot\tfrac{1}{2},\\\ 0-2\cdot\tfrac{1}{2}\bigr]=\bigl[1,0,-1\bigr].
Resultado final reduzido:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].
Portanto
A^{-1}=\begin{bmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 1 & 0 & -1\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{bmatrix}.]

Passo 3

Analisar B (verificar invertibilidade). Monto a aumentada [B\!:\!I_3]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Observação simples de dependência linear: a terceira linha é a soma da primeira com a segunda:
\begin{bmatrix}1 & 3 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & 1 & 2\end{bmatrix}.
Isso significa que as linhas são linearmente dependentes, logo \det(B)=0 e B não é invertível.
Também pela redução: se aplicarmos R_3\leftarrow R_3-R_1 obtemos uma linha igual a R_2, e então a eliminação gera uma linha nula à esquerda enquanto o bloco direito não fica necessariamente nulo — consequência: não é possível chegar a [I_3|\,\cdot]. Conclusão:
B^{-1}\\ \text{não existe (matriz singular).}ã]

Passo 4

Calcular C^{-1} por Gauss–Jordan.
Aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 4 & -3 & 7 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Operações:
  1. Escalo R_1 por 1/2 para pivô mais simples: R_1\leftarrow \tfrac{1}{2}R_1:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 3 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 4 & -3 & 7 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Elimino coluna 1 nas outras linhas:
  • R_2\leftarrow R_2-3R_1 \Rightarrow R_2=[0,\\\ 0,\\ \tfrac{7}{2}\;|\; -\tfrac{3}{2},\\\ 1,\\\ 0].
  • R_3\leftarrow R_3-4R_1 \Rightarrow R_3=[0,\\\ -3,\\\ 9\;|\; -2,\\\ 0,\\\ 1].
Assim:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{7}{2} & -\tfrac{3}{2} & 1 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 9 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Troco R_2 e R_3 para ter pivô na coluna 2 em R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 9 & -2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{7}{2} & -\tfrac{3}{2} & 1 & 0 \end{array}\right].
  1. Normalizo R_2 dividindo por -3: R_2\leftarrow -\tfrac{1}{3}R_2
R_2=[0,\\\ 1,\\\ -3\;|\;\tfrac{2}{3},\\\ 0,\\\ -\tfrac{1}{3}].
  1. Normalizo R_3 dividindo por \tfrac{7}{2}, ou seja R_3\leftarrow \tfrac{2}{7}R_3:
R_3=[0,\\\ 0,\\\ 1\;|\; -\tfrac{3}{7},\\ \tfrac{2}{7},\\\ 0].
  1. Elimino coluna 3 em R_1,R_2:
  • R_1\leftarrow R_1+\tfrac{1}{2}R_3 produz R_1 no bloco direito \bigl[\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}(-\tfrac{3}{7}),\\\ 0+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{7},\\\ 0+\tfrac{1}{2}\cdot0\bigr]=\bigl(\tfrac{2}{7},\tfrac{1}{7},0\bigr).
  • R_2\leftarrow R_2+3R_3 produz R_2 no bloco direito \bigl[\tfrac{2}{3}+3(-\tfrac{3}{7}),\\\ 0+3\cdot\tfrac{2}{7},\\\ -\tfrac{1}{3}+3\cdot0\bigr]=\bigl(-\tfrac{13}{21},\tfrac{6}{7},-\tfrac{1}{3}\bigr).
A matriz final reduzida:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{2}{7} & \tfrac{1}{7} & 0\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{13}{21} & \tfrac{6}{7} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{3}{7} & \tfrac{2}{7} & 0 \end{array}\right].
Portanto
C^{-1}=\begin{bmatrix} \tfrac{2}{7} & \tfrac{1}{7} & 0\\[4pt] -\tfrac{13}{21} & \tfrac{6}{7} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] -\tfrac{3}{7} & \tfrac{2}{7} & 0 \end{bmatrix}.]

Passo 5

Calcular D^{-1} (matriz 4\times4) por Gauss–Jordan. Mostrarei passo a passo com explicações curtas.
Matriz aumentada inicial [D\!:\!I_4]:
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 3 & -1 & 5 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Estratégia: escolher linha com 1 em (\cdot,1) para facilitar; troco R_1\leftrightarrow R_4.
  1. Troca R_1\leftrightarrow R_4:
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 5 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
  1. Elimino coluna 1 em R_3,R_4:
  • R_3\leftarrow R_3-2R_1 R_3=[0,\,-2,\,-5,\\\ 3\;|\;0,0,1,-2].
  • R_4\leftarrow R_4-3R_1 R_4=[0,\,-4,\,-1,\\\ 0\;|\;1,0,0,-3].
Agora:
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -5 & 3 & 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & -4 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -3 \end{array}\right].
  1. Tornar pivô em (2,2) igual a 1: R_2\leftarrow \tfrac{1}{2}R_2:
R_2=[0,1,0,\tfrac{1}{2}\;|\;0,\tfrac{1}{2},0,0].
  1. Elimino entradas na coluna 2 das outras linhas:
  • R_1\leftarrow R_1-R_2 (zera (1,2)),
  • R_3\leftarrow R_3+2R_2,
  • R_4\leftarrow R_4+4R_2.
Depois dessas operações obtemos:
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 2 & -\tfrac{1}{2} & 0 & -\tfrac{1}{2} & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -5 & 4 & 0 & 1 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2 & 1 & 2 & 0 & -3 \end{array}\right].
(Detalhes das combinações: p.ex. R_3+2R_2 atualiza a coluna 4 por 3+2\cdot\tfrac{1}{2}=4, e atualiza o bloco direito conforme somas correspondentes.)
  1. Pivô na coluna 3: normalizo R_3 dividindo por -5: R_3\leftarrow -\tfrac{1}{5}R_3, obtendo
R_3=[0,0,1,-\tfrac{4}{5}\;|\;0,-\tfrac{1}{5},-\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5}].
  1. Elimino coluna 3 em R_1 e R_4:
  • R_1\leftarrow R_1-2R_3,
  • R_4\leftarrow R_4+1\cdot R_3.
Após essas operações:
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & \tfrac{11}{10} & 0 & -\tfrac{1}{10} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{4}{5} & 0 & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{6}{5} & 1 & \tfrac{9}{5} & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{13}{5} \end{array}\right].
(Para R_1 a coluna 4 atualizou: -\tfrac{1}{2}-2(-\tfrac{4}{5})=\tfrac{11}{10}; o bloco direito calculado conforme as combinações mostradas.)
  1. Normalizo R_4 dividindo por \tfrac{6}{5} (multiplicando por \tfrac{5}{6}):
R_4=[0,0,0,1\;|\;\tfrac{5}{6},\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{6},-\tfrac{13}{6}].
  1. Elimino a coluna 4 em R_1,R_2,R_3 usando R_4:
  • R_1\leftarrow R_1-\tfrac{11}{10}R_4,
  • R_2\leftarrow R_2-\tfrac{1}{2}R_4,
  • R_3\leftarrow R_3+ \tfrac{4}{5}R_4.
Calculando os blocos direitos resultados dessas eliminações obtemos (após simplificação de frações):
\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{11}{12} & -\tfrac{7}{4} & \tfrac{7}{12} & \tfrac{31}{12}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -\tfrac{5}{12} & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{12} & \tfrac{13}{12}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac{5}{6} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{6} & -\tfrac{13}{6} \end{array}\right].
Assim concluímos que o bloco direito é D^{-1}. Para apresentar de forma compacta, escrevemos as linhas com denominadores comuns:
D^{-1}=\begin{bmatrix} -\dfrac{11}{12} & -\dfrac{7}{4} & \dfrac{7}{12} & \dfrac{31}{12}\\[8pt] -\dfrac{5}{12} & -\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{12} & \dfrac{13}{12}\\[8pt] \dfrac{2}{3} & 1 & -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{4}{3}\\[8pt] \dfrac{5}{6} & \dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{6} & -\dfrac{13}{6} \end{bmatrix}.
(Observação: pode-se reescrever D^{-1} com fator comum por linha, por exemplo a primeira linha é \tfrac{1}{12}[-11,-21,7,31], a segunda \tfrac{1}{12}[-5,-3,1,13], a terceira \tfrac{1}{3}[2,3,-1,-4], a quarta \tfrac{1}{6}[5,9,-1,-13].)]

Resposta

A^{-1}=\begin{bmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 1 & 0 & -1\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{bmatrix}
B^{-1}\\ \text{não existe (matriz singular).}ã
C^{-1}=\begin{bmatrix} \tfrac{2}{7} & \tfrac{1}{7} & 0\\[6pt] -\tfrac{13}{21} & \tfrac{6}{7} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] -\tfrac{3}{7} & \tfrac{2}{7} & 0 \end{bmatrix}
D^{-1}=\begin{bmatrix} -\dfrac{11}{12} & -\dfrac{7}{4} & \dfrac{7}{12} & \dfrac{31}{12}\\[8pt] -\dfrac{5}{12} & -\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{12} & \dfrac{13}{12}\\[8pt] \dfrac{2}{3} & 1 & -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{4}{3}\\[8pt] \dfrac{5}{6} & \dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{6} & -\dfrac{13}{6} \end{bmatrix}

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