( 20 pontos) Determine a solução geral da equação diferencial
(y+x \ln y) d x+\left(x+y e^{y}+\frac{x^{2}}{2 y}\right) d y=0 .
(b) Encontre a solução da equação que passa pelo ponto (2,1).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(y + x \ln y)\,dx + \Bigl(x + y e^{y} + \frac{x^{2}}{2y}\Bigr)\,dy = 0
como uma equação exata, isto é, encontrar uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = y + x \ln y \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = x + y e^{y} + \frac{x^{2}}{2y}.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y + x \ln y\bigr) = 1 + x\cdot\frac{1}{y} = 1 + \frac{x}{y},
\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(x + y e^{y} + \tfrac{x^{2}}{2y}\Bigr) = 1 + \frac{2x}{2y} = 1 + \frac{x}{y}.
Como coincidem, a equação é exata.

Passo 3

Integramos \displaystyle M(x,y)=y + x\ln y em relação a x:
\Phi(x,y) = \int\bigl(y + x\ln y\bigr)\,dx = xy + \frac{x^{2}}{2}\ln y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Derivamos \Phi em relação a y e igualamos a N(x,y):
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = x + \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{y} + h'(y) \stackrel{!}{=} x + y e^{y} + \frac{x^{2}}{2y}.
Cancelando os termos comuns, obtemos h'(y)=y e^{y}, logo
h(y) = \int y e^{y}\,dy = e^{y}(y-1).

Passo 5

A função potencial é
\Phi(x,y) = xy + \frac{x^{2}}{2}\ln y + e^{y}(y-1),
de modo que a solução geral fica
xy + \frac{x^{2}}{2}\ln y + e^{y}(y-1) = C.

Passo 6

Para a solução que passa por (2,1), fazemos x=2, y=1:
2\cdot1 + \frac{2^{2}}{2}\ln1 + e^{1}(1-1) = 2 + 0 + 0 = 2,
então C=2.

Resposta

A solução geral é
xy + \frac{x^{2}}{2}\ln y + e^{y}(y-1) = C.
A solução particular que passa por (2,1) é
xy + \frac{x^{2}}{2}\ln y + e^{y}(y-1) = 2.

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