( 20 pontos) Determine a solução geral da equação diferencial
(b) Encontre a solução da equação que passa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
como uma equação exata, isto é, encontrar uma função potencial
tal que
Passo 2
Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
Como coincidem, a equação é exata.
Passo 3
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Cancelando os termos comuns, obtemos
, logo
Passo 5
A função potencial é
de modo que a solução geral fica
Passo 6
Para a solução que passa por
, fazemos
,
:
então
.
Resposta
A solução geral é
A solução particular que passa por
é