(1,0 pt) - Integral Tripla (reta)
Calcule:
\iiint_{E} z d z d y d x
onde E é a região limitada por x \in[0,1], y \in[0, x], z \in[0, x+y].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} z \,dz\,dy\,dx
onde a região E é dada por
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le x,\quad 0 \le z \le x + y.
Vamos usar o Teorema de Fubini para integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Integramos em z mantendo x e y fixos:
\int_{0}^{\,x+y} z \,dz = \left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{\,x+y} = \frac{(x+y)^{2}}{2}.
Portanto a integral original vira
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{x}\frac{(x+y)^{2}}{2}\,dy\,dx.

Passo 3

Agora integramos em y:
\int_{0}^{x}(x+y)^{2}\,dy = \left[\frac{(x+y)^{3}}{3}\right]_{0}^{x} = \frac{(2x)^{3}-x^{3}}{3} = \frac{8x^{3}-x^{3}}{3} = \frac{7x^{3}}{3}.
Como havia o fator \tfrac12, obtemos para o integrando em x
\frac{1}{2}\cdot\frac{7x^{3}}{3} = \frac{7x^{3}}{6}.

Passo 4

Finalmente, integramos em x:
\int_{0}^{1}\frac{7x^{3}}{6}\,dx = \frac{7}{6}\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{7}{6}\cdot\frac{1}{4} = \frac{7}{24}.

Resposta

\frac{7}{24}

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