9. (2,0 pts) - Coordenadas Cilíndricas

Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+ y^{2}=4, pelo plano z=0 e pelo paraboloide z=4-x^{2}-y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4, pelo plano z=0 e pelo paraboloide z=4-x^{2}-y^{2}. O conteúdo principal é mudança para coordenadas cilíndricas, onde fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z
e o elemento de volume vira dV = r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas o cilindro x^{2}+y^{2}=4 fica r=2, o plano continua z=0 e o paraboloide fica
z = 4 - r^{2}.
Portanto a região de integração é
0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le r \le 2,\quad 0 \le z \le 4 - r^{2}.

Passo 3

O volume é dado pela integral tripla
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{4 - r^{2}} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{4 - r^{2}} r\,dz = r\bigl(4 - r^{2}\bigr).
Logo
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r\bigl(4 - r^{2}\bigr)\,dr\,d\theta.
Agora a integral em r:
\int_{0}^{2} (4r - r^{3})\,dr = \Bigl[2r^{2} - \tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{2} = (8 - 4) = 4.
Finalmente em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi}4\,d\theta = 4\cdot2\pi = 8\pi.

Resposta

O volume do sólido é 8\pi.

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