9. (2,0 pts) - Coordenadas Cilíndricas
Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido limitado pelo cilindro
, pelo plano
e pelo paraboloide
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro
, pelo plano
e pelo paraboloide
. O conteúdo principal é mudança para coordenadas cilíndricas, onde fazemos
e o elemento de volume vira
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas o cilindro
fica
, o plano continua
e o paraboloide fica
Portanto a região de integração é
Passo 3
O volume é dado pela integral tripla
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Logo
Agora a integral em
:
Finalmente em
:
Resposta
O volume do sólido é
.