Calcule a Transformada de Laplace Inversa das seguintes funções:
b) G(s)=\frac{1}{s^{4}-1}

Passo 1

O enunciado nos pede a transformada de Laplace inversa de
G(s) = \frac{1}{s^{4}-1}.
O conteúdo principal é o uso de frações parciais para decompor G(s) em termos cujas transformadas inversas sejam conhecidas na tabela padrão.

Passo 2

Vamos primeiro fatorar o denominador:
s^{4}-1 = (s^{2}-1)(s^{2}+1) = (s-1)(s+1)(s^{2}+1).
Logo, assumimos uma decomposição do tipo
\frac{1}{s^{4}-1} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+1} + \frac{Cs + D}{s^{2}+1}.

Passo 3

Para encontrar A e B, multiplica-se a identidade por (s-1)(s+1)(s^{2}+1) e avalia-se em s=1 e s=-1:
1 = A\,(1+1)(1^{2}+1)\quad\Rightarrow\quad 1 = 4A\quad\Rightarrow\quad A = \tfrac{1}{4},
1 = B\,(-1-1)((-1)^{2}+1)\quad\Rightarrow\quad 1 = -4B\quad\Rightarrow\quad B = -\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Restam C e D. Depois de extrair as partes de A e B, escrevemos
1 - \Bigl[\tfrac{1}{4}(s+1)(s^{2}+1) - \tfrac{1}{4}(s-1)(s^{2}+1)\Bigr] = (Cs+D)\,(s^{2}-1).
O primeiro colchete simplifica para \tfrac12(s^{2}+1), de modo que
(Cs+D)(s^{2}-1) = 1 - \tfrac12 s^{2} - \tfrac12 = -\tfrac12 s^{2} + \tfrac12.
Expandindo o lado esquerdo e igualando coeficientes obtemos
Cs^{3} + D s^{2} - C s - D = -\tfrac12 s^{2} + \tfrac12
que dá C=0 e D=-\tfrac12.

Passo 5

Substituindo A, B, C e D na decomposição, temos
\frac{1}{s^{4}-1} = \frac{1/4}{s-1} - \frac{1/4}{s+1} - \frac{1/2}{s^{2}+1}.

Passo 6

Aplicando a transformada de Laplace inversa em cada termo usando
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at} e
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}+1}\}=\sin(t), obtemos
g(t) = \mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} = \tfrac{1}{4}e^{t} - \tfrac{1}{4}e^{-t} - \tfrac{1}{2}\sin(t).

Resposta

g(t) = \frac{1}{4}e^{t} \;-\;\frac{1}{4}e^{-t}\;-\;\frac{1}{2}\sin(t).

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