Comprovar que os vetores de \mathbb{R}^{3}, v_{1}=(-1,3,1), v_{2}=(3,-1,1) e v_{3}=(4,0,2) são LD e expressar a v_{3} como combinação linear de v_{1} e v_{2}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os vetores \;v_{1}=(-1,3,1),\;v_{2}=(3,-1,1) e \;v_{3}=(4,0,2) em \mathbb{R}^{3} são linearmente dependentes e expressar v_{3} como combinação linear de v_{1} e v_{2}. O conteúdo é dependência linear em espaços vetoriais e vamos usar a definição que diz que, se um vetor pode ser escrito em função dos outros, então há dependência linear.
Passo 2
Para provar dependência linear basta encontrar escalares não todos nulos \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\,v_{1} + \beta\,v_{2} + \gamma\,v_{3} = 0.
Em particular, se conseguirmos escrever v_{3} como combinação de v_{1} e v_{2}, temos imediatamente uma relação não trivial.
Passo 3
Suponha
v_{3} = x\,v_{1} + y\,v_{2}.
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema