Comprovar que os vetores de \mathbb{R}^{3}, v_{1}=(-1,3,1), v_{2}=(3,-1,1) e v_{3}=(4,0,2) são LD e expressar a v_{3} como combinação linear de v_{1} e v_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores \;v_{1}=(-1,3,1),\;v_{2}=(3,-1,1) e \;v_{3}=(4,0,2) em \mathbb{R}^{3} são linearmente dependentes e expressar v_{3} como combinação linear de v_{1} e v_{2}. O conteúdo é dependência linear em espaços vetoriais e vamos usar a definição que diz que, se um vetor pode ser escrito em função dos outros, então há dependência linear.

Passo 2

Para provar dependência linear basta encontrar escalares não todos nulos \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\,v_{1} + \beta\,v_{2} + \gamma\,v_{3} = 0.
Em particular, se conseguirmos escrever v_{3} como combinação de v_{1} e v_{2}, temos imediatamente uma relação não trivial.

Passo 3

Suponha
v_{3} = x\,v_{1} + y\,v_{2}.
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} -\,x \;+\;3\,y = 4,\\\\ 3\,x \;-\;y = 0,\\\ x \;+\;y = 2. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação segue
y = 2 - x.
Substituindo na segunda:
3x - (2 - x) = 0 \;\Longrightarrow\; 4x = 2 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac12.
Então
y = 2 - \tfrac12 = \tfrac32.
Verificando na primeira:
-\tfrac12 + 3\cdot\tfrac32 = -\tfrac12 + \tfrac92 = 4,
o que confere.

Passo 5

Portanto
v_{3} = \tfrac12\,v_{1} + \tfrac32\,v_{2}.
Multiplicando por 2 fica
2\,v_{3} - v_{1} - 3\,v_{2} = 0,
que é uma combinação não trivial. Logo v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente dependentes.

Resposta

v_{3} = \tfrac12\,v_{1} + \tfrac32\,v_{2}.

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