( 20 pontos) Encontre para quais valores de x a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n}}{(2 n-1) 3^{2 n-1}}
converge.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar para quais valores de x a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n}}{(2 n-1) 3^{2 n-1}}
converge. Informações fornecidas e coisas a observar:
  • A série é dada termo a termo por (-1)^{n}\dfrac{x^{n}}{(2n-1)3^{2n-1}} para n=1,2,\dots.
  • Precisamos decidir, para cada valor real de x, se a série converge absolutamente, converge condicionalmente, ou diverge.
  • Não há outras informações (por ex., soma da série), apenas o enunciado acima.

Passo 2

Escolhendo um método: como a variável x aparece com potência n, é natural tratar isto como uma série de potências centrada em 0 e primeiro determinar o raio de convergência com o teste da razão. Vou explicar o teste da razão com calma.
O teste da razão (para séries de termos a_n) diz: calcule
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo e precisamos outros testes.
Aqui tomamos
a_n = (-1)^{n}\frac{x^{n}}{(2n-1)3^{2n-1}}.
No teste da razão trabalhamos com |a_n|, pois queremos a razão dos módulos:
|a_n|=\frac{|x|^{n}}{(2n-1)3^{2n-1}}.
Agora calculemos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{|x|^{\,n+1}}{(2(n+1)-1)3^{2(n+1)-1}}\cdot\frac{(2n-1)3^{2n-1}}{|x|^{\,n}}.
Simplificando passo a passo:
2(n+1)-1=2n+1,\qquad 2(n+1)-1-(2n-1)=2,
e para as potências de 3,
\frac{3^{2n-1}}{3^{2n+1}}=\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{9}.
Portanto
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =|x|\cdot\frac{2n-1}{2n+1}\cdot\frac{1}{9}.
Tomando limite quando n\to\infty,
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{|x|}{9}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{2n-1}{2n+1} =\frac{|x|}{9}\cdot 1=\frac{|x|}{9}.

Passo 3

Aplicando a conclusão do teste da razão: se L<1 então converge absolutamente; se L>1 diverge. Assim:
  • Se \dfrac{|x|}{9}<1, isto é, se |x|<9, a série converge absolutamente.
  • Se \dfrac{|x|}{9}>1, isto é, se |x|>9, a série diverge.
Ficou então pendente somente o comportamento nos extremos |x|=9, ou seja x=9 e x=-9. Esses casos exigem testes separados.

Passo 4

Analisando o caso x=9.
Substituindo x=9 no termo geral:
(-1)^{n}\frac{9^{n}}{(2n-1)3^{2n-1}}.
Como 9^{n}=(3^{2})^{n}=3^{2n}, obtemos
(-1)^{n}\frac{3^{2n}}{(2n-1)3^{2n-1}} = (-1)^{n}\frac{3^{2n}}{3^{2n-1}}\cdot\frac{1}{2n-1} = (-1)^{n}\frac{3}{2n-1}.
Logo a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{3}{2n-1} =3\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n-1}.
Esta é uma série alternada do tipo \sum (-1)^{n} b_n com b_n=\dfrac{1}{2n-1}.
Aplicando o critério de Leibniz (teste da série alternada): se b_n é monótona decrescente e b_n\to 0 quando n\to\infty, então a série alternada converge.
Verificações:
  • b_n=\dfrac{1}{2n-1} é positiva e claramente b_{n+1}<b_n (função decrescente em n).
  • \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Portanto a série converge para x=9. Como a série dos valores absolutos é
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\frac{3}{2n-1}\right| =3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1},
essa série dos termos absolutos diverge (é equivalente à soma sobre os termos ímpares da série harmônica). Logo, em x=9 a convergência é condicional (converge, mas não absolutamente).

Passo 5

Analisando o caso x=-9.
Substituindo x=-9 no termo geral:
(-1)^{n}\frac{(-9)^{n}}{(2n-1)3^{2n-1}}.
Note que (-9)^{n}=(-1)^{n}9^{n}, então
(-1)^{n}\cdot(-1)^{n}\frac{9^{n}}{(2n-1)3^{2n-1}} = (-1)^{2n}\frac{9^{n}}{(2n-1)3^{2n-1}} =\frac{9^{n}}{(2n-1)3^{2n-1}}.
Como antes 9^{n}=3^{2n}, este termo simplifica para
\frac{3^{2n}}{(2n-1)3^{2n-1}}=\frac{3}{2n-1}.
Portanto a série em x=-9 é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2n-1} =3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}.
Os termos são positivos e comparáveis com a série harmônica: note que para todo n,
\frac{1}{2n-1}\ge \frac{1}{2n},
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\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}\ge \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
e a série harmônica \sum 1/n diverge, então \sum 1/(2n-1) também diverge. Assim a série para x=-9 diverge (soma infinita).

Passo 6

Conclusão final, juntando tudo:
  • A série converge absolutamente para |x|<9.
  • No ponto x=9 a série converge, mas apenas condicionalmente.
  • No ponto x=-9 a série diverge.
  • Para |x|>9 a série também diverge (teste da razão).

Resposta

A série converge para |x|<9 (convergência absoluta).
Em x=9 converge condicionalmente.
Em x=-9 diverge.
Para |x|>9 diverge.

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