converge. Informações fornecidas e coisas a observar:
A série é dada termo a termo por (-1)^{n}\dfrac{x^{n}}{(2n-1)3^{2n-1}} para n=1,2,\dots.
Precisamos decidir, para cada valor real de x, se a série converge absolutamente, converge condicionalmente, ou diverge.
Não há outras informações (por ex., soma da série), apenas o enunciado acima.
Passo 2
Escolhendo um método: como a variável x aparece com potência n, é natural tratar isto como uma série de potências centrada em 0 e primeiro determinar o raio de convergência com o teste da razão. Vou explicar o teste da razão com calma.
O teste da razão (para séries de termos a_n) diz: calcule
Esta é uma série alternada do tipo \sum (-1)^{n} b_n com b_n=\dfrac{1}{2n-1}.
Aplicando o critério de Leibniz (teste da série alternada): se b_n é monótona decrescente e b_n\to 0 quando n\to\infty, então a série alternada converge.
Verificações:
b_n=\dfrac{1}{2n-1} é positiva e claramente b_{n+1}<b_n (função decrescente em n).
\lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Portanto a série converge para x=9. Como a série dos valores absolutos é
essa série dos termos absolutos diverge (é equivalente à soma sobre os termos ímpares da série harmônica). Logo, em x=9 a convergência é condicional (converge, mas não absolutamente).