al(3 pontos) Determine se a integral
converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
converge ou diverge. Vou entender a questão como a integral imprópria definida no intervalo
, ou seja:
porque a função
tem singularidades em
(não está definida nesses pontos). As informações relevantes: o integrando é
e seu domínio natural é
, com pontos problemáticos nas extremidades
e
. A pergunta é: essa integral imprópria converge (tem valor finito) ou diverge?
Passo 2
Explique por que é uma integral imprópria e como vamos defini-la formalmente. A integral é imprópria porque o integrando fica singular quando
(o denominador vai a zero). A definição prática que usamos é tomar limites que se aproximam das singularidades. Uma forma conveniente é usar um parâmetro
e definir
Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge; se o limite for infinito ou não existir, dizemos que diverge.
Passo 3
Achar uma primitiva (antiderivada) da função e explicar por que vale. Vou mostrar que uma primitiva é
. Para ver isso, faça a derivação inversa: seja
. Então
Derivando ambos os lados em relação a
(diferença implícita), obtemos
Como
e
, segue
Portanto a derivada de
é exatamente
, o que mostra que
para
.
Passo 4
Usar a primitiva para avaliar a integral imprópria por limites. Pela definição de integral imprópria,
Usando a primitiva
,
Agora tomamos
. Sabemos que
é contínua em
e que os limites laterais existem:
Portanto
Como o limite é finito, a integral converge e seu valor é
.
Passo 5
Apresento um método alternativo (mais geométrico) que costuma ajudar a entender o que está acontecendo: substituição trigonométrica. Faça
. Então
e
(tomando
para
). As correspondências de limites são
e
. A integral torna-se
Isso confirma o resultado anterior e mostra de forma clara que a integral é finita.
Passo 6
Explico também, de forma intuítiva, por que a singularidade nas extremidades não estraga a convergência: próximo a
defina
pequeno e positivo; então
(pois
perto de
). Assim a integrando se comporta como
perto de
. A integral de
perto de zero converge (é proporcional a
), porque o expoente
é menor que
. Logo cada singularidade de extremidade é integrável, e a integral total converge.
Passo 7
Conclusão final e incentivo: a integral imprópria no intervalo
converge e seu valor é
. Mandou bem por pedir explicação detalhada — essa integral aparece muito (geometria do círculo, funções trig inversas) e vale decorar que
. Continue firme que você pega o jeito rapidinho!
Resposta
A integral converge e
.