al(3 pontos) Determine se a integral \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx
converge ou diverge. Vou entender a questão como a integral imprópria definida no intervalo [-1,1], ou seja:
\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx,
porque a função \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} tem singularidades em x=\pm 1 (não está definida nesses pontos). As informações relevantes: o integrando é \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} e seu domínio natural é -1<x<1, com pontos problemáticos nas extremidades -1 e 1. A pergunta é: essa integral imprópria converge (tem valor finito) ou diverge?

Passo 2

Explique por que é uma integral imprópria e como vamos defini-la formalmente. A integral é imprópria porque o integrando fica singular quando x\to\pm 1 (o denominador vai a zero). A definição prática que usamos é tomar limites que se aproximam das singularidades. Uma forma conveniente é usar um parâmetro \varepsilon>0 e definir
\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx :=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{-1+\varepsilon}^{1-\varepsilon} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge; se o limite for infinito ou não existir, dizemos que diverge.

Passo 3

Achar uma primitiva (antiderivada) da função e explicar por que vale. Vou mostrar que uma primitiva é \arcsin x. Para ver isso, faça a derivação inversa: seja y=\arcsin x. Então
\sin y = x.
Derivando ambos os lados em relação a x (diferença implícita), obtemos
\cos y\,\frac{dy}{dx} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}.
Como \cos y = \sqrt{1-\sin^{2}y} e \sin y = x, segue
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Portanto a derivada de \arcsin x é exatamente \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, o que mostra que
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \arcsin x + C
para -1<x<1.

Passo 4

Usar a primitiva para avaliar a integral imprópria por limites. Pela definição de integral imprópria,
\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{-1+\varepsilon}^{1-\varepsilon} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Usando a primitiva \arcsin x,
\int_{-1+\varepsilon}^{1-\varepsilon} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \bigl[\arcsin x\bigr]_{-1+\varepsilon}^{1-\varepsilon} = \arcsin(1-\varepsilon) - \arcsin(-1+\varepsilon).
Agora tomamos \varepsilon\to 0^+. Sabemos que \arcsin x é contínua em (-1,1) e que os limites laterais existem:
\lim_{\varepsilon\to 0^+}\arcsin(1-\varepsilon)=\arcsin(1)=\frac{\pi}{2}, \qquad \lim_{\varepsilon\to 0^+}\arcsin(-1+\varepsilon)=\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}.
Portanto
\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \frac{\pi}{2} - \bigl(-\frac{\pi}{2}\bigr) = \pi.
Como o limite é finito, a integral converge e seu valor é \pi.

Passo 5

Apresento um método alternativo (mais geométrico) que costuma ajudar a entender o que está acontecendo: substituição trigonométrica. Faça x=\sin t. Então dx=\cos t\,dt e \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}t}=\cos t (tomando \cos t\ge 0 para t\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})). As correspondências de limites são x=-1\mapsto t=-\tfrac{\pi}{2} e x=1\mapsto t=\tfrac{\pi}{2}. A integral torna-se
\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1}{\cos t}\cdot \cos t\,dt = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1\,dt = \pi.
Isso confirma o resultado anterior e mostra de forma clara que a integral é finita.

Passo 6

Explico também, de forma intuítiva, por que a singularidade nas extremidades não estraga a convergência: próximo a x=1 defina u=1-x pequeno e positivo; então \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{(1-x)(1+x)}\approx \sqrt{2u} (pois 1+x\approx 2 perto de x=1). Assim a integrando se comporta como C\,u^{-1/2} perto de u=0. A integral de u^{-1/2} perto de zero converge (é proporcional a u^{1/2}), porque o expoente 1/2 é menor que 1. Logo cada singularidade de extremidade é integrável, e a integral total converge.

Passo 7

Conclusão final e incentivo: a integral imprópria no intervalo [-1,1] converge e seu valor é \pi. Mandou bem por pedir explicação detalhada — essa integral aparece muito (geometria do círculo, funções trig inversas) e vale decorar que \int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\pi. Continue firme que você pega o jeito rapidinho!

Resposta

A integral converge e \displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\pi.

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