b)( 3pontos) Encontre os valores de k para os quais a integral imprópria \int_{0}^{\infty} e^{k x} d x converge e determine o valor da integral.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) para quais valores de k a integral imprópria \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{k x}\,dx converge; (2) calcular o valor dessa integral quando ela convergir.
Informações dadas: a função integranda é e^{k x} definida para x\ge 0 e o intervalo de integração é [0,\infty). Não há mais dados; portanto devemos tratar a integral como uma integral imprópria por causa do limite superior infinito.

Passo 2

Definição prática de integral imprópria usada aqui: dizer que
\int_{0}^{\infty} e^{k x}\,dx
é o limite
\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b} e^{k x}\,dx.
Ou seja, calculamos a integral sobre [0,b] e depois fazemos b\to\infty. Se esse limite existir como número finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.

Passo 3

Vamos calcular a primitiva (antiderivada) de e^{k x}. Para k\neq 0 usamos a regra básica de derivação/integral de exponenciais:
\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{k x}}{k}\right)=e^{k x}.
Portanto, para k\neq 0,
\int e^{k x}\,dx = \frac{e^{k x}}{k} + C,
onde C é a constante de integração. (Explicando: essa fórmula vem porque quando derivamos e^{k x} aparece um fator k que é cancelado ao dividir por k.)

Passo 4

Usando a primitiva para a integral definida em [0,b] (com k\neq 0):
\int_{0}^{b} e^{k x}\,dx = \left.\frac{e^{k x}}{k}\right|_{0}^{b} = \frac{e^{k b}}{k} - \frac{e^{0}}{k} = \frac{e^{k b}-1}{k}.
Agora aplicamos o passo da integral imprópria, tomando limite b\to\infty:
\int_{0}^{\infty} e^{k x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\frac{e^{k b}-1}{k}.

Passo 5

Analisamos o limite \lim_{b\to\infty} e^{k b} dependendo do sinal de k:
  • Se k>0, então e^{k b}\to\infty quando b\to\infty. Assim \frac{e^{k b}-1}{k}\to\infty. Logo a integral diverge para k>0.
  • Se k=0, não podemos usar a fórmula acima (divisão por zero). Nesse caso a integral é \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{0\cdot x}\,dx=\int_{0}^{\infty} 1\,dx, que é \lim_{b\to\infty} b = \infty. Logo diverge também para k=0.
  • Se k<0, então e^{k b}\to 0 quando b\to\infty (porque exponencial com expoente negativo tende a zero). Portanto
\lim_{b\to\infty}\frac{e^{k b}-1}{k} = \frac{0-1}{k} = -\frac{1}{k}.
Esse é um número finito, então a integral converge quando k<0.

Passo 6

Interpretação e verificação numérica simples (ajuda para memorizar): para k<0 a função e^{k x} decai exponencialmente (vai para zero rápido), por isso a área total sob a curva de 0 a \infty é finita. Por exemplo, se k=-2,
\int_{0}^{\infty} e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}.
Para k\ge 0 a função não decai (é constante para k=0 ou cresce para k>0), então a área é infinita.

Passo 7

Conclusão formal: a integral imprópria converge se, e somente se, k<0; neste caso o valor da integral é -\dfrac{1}{k}. Para k\ge 0 a integral diverge.

Resposta

Converge se, e somente se, k<0.
Para k<0: \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{k x}\,dx = -\frac{1}{k}.
Para k\ge 0: a integral diverge (igual a +\infty).

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