b)( 3pontos) Encontre os valores de k para os quais a integral imprópria \int_{0}^{\infty} e^{k x} d x converge e determine o valor da integral.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) para quais valores de k a integral imprópria \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{k x}\,dx converge; (2) calcular o valor dessa integral quando ela convergir.
Informações dadas: a função integranda é e^{k x} definida para x\ge 0 e o intervalo de integração é [0,\infty). Não há mais dados; portanto devemos tratar a integral como uma integral imprópria por causa do limite superior infinito.
Passo 2
Definição prática de integral imprópria usada aqui: dizer que
\int_{0}^{\infty} e^{k x}\,dx
é o limite
\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b} e^{k x}\,dx.
Ou seja, calculamos a integral sobre [0,b] e depois fazemos b\to\infty. Se esse limite existir como número finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.
Passo 3
Vamos calcular a primitiva (antiderivada) de e^{k x}. Para k\neq 0 usamos a regra básica de derivação/integral de exponenciais:
onde C é a constante de integração. (Explicando: essa fórmula vem porque quando derivamos e^{k x} aparece um fator k que é cancelado ao dividir por k.)
Passo 4
Usando a primitiva para a integral definida em [0,b] (com k\neq 0):
Analisamos o limite \lim_{b\to\infty} e^{k b} dependendo do sinal de k:
Se k>0, então e^{k b}\to\infty quando b\to\infty. Assim \frac{e^{k b}-1}{k}\to\infty. Logo a integral diverge para k>0.
Se k=0, não podemos usar a fórmula acima (divisão por zero). Nesse caso a integral é \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{0\cdot x}\,dx=\int_{0}^{\infty} 1\,dx, que é \lim_{b\to\infty} b = \infty. Logo diverge também para k=0.
Se k<0, então e^{k b}\to 0 quando b\to\infty (porque exponencial com expoente negativo tende a zero). Portanto
Esse é um número finito, então a integral converge quando k<0.
Passo 6
Interpretação e verificação numérica simples (ajuda para memorizar): para k<0 a função e^{k x} decai exponencialmente (vai para zero rápido), por isso a área total sob a curva de 0 a \infty é finita. Por exemplo, se k=-2,
Para k\ge 0 a função não decai (é constante para k=0 ou cresce para k>0), então a área é infinita.
Passo 7
Conclusão formal: a integral imprópria converge se, e somente se, k<0; neste caso o valor da integral é -\dfrac{1}{k}. Para k\ge 0 a integral diverge.
Resposta
Converge se, e somente se, k<0.
Para k<0: \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{k x}\,dx = -\frac{1}{k}.
Para k\ge 0: a integral diverge (igual a +\infty).