3- (20 pontos) Escreva a equação de Navier-stokes para Escoamento incompressível, Regime permanente, sem escoamento ou variação de propriedades na direção de z , escoamento totalmente desenvolvido, portanto sem variação de propriedades na direção x.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a equação de Navier–Stokes para as seguintes condições: fluxo incompressível, regime permanente, sem escoamento nem variação na direção z, e escoamento totalmente desenvolvido (sem variação na direção x).
Informações dadas (listadas claramente):
  • Fluxo incompressível: a densidade é constante e a divergência da velocidade é nula.
  • Regime permanente: não há variação temporal ( \partial/\partial t = 0).
  • Sem escoamento na direção z: a componente de velocidade w=0.
  • Sem variação na direção z: \partial/\partial z = 0.
  • Escoamento totalmente desenvolvido: não há variação ao longo da direção x, ou seja \partial/\partial x = 0.
  • Variáveis usuais: velocidade \mathbf{u}=(u,v,w), pressão p, densidade \rho, viscosidade dinâmica \mu, aceleração de corpo (gravidade) \mathbf{g}=(g_x,g_y,g_z).
    O objetivo é reduzir as equações de Navier–Stokes (continuidade + momento) usando essas hipóteses e escrever a forma simplificada resultante.

Passo 2

Vou começar escrevendo as equações gerais para o caso incompressível e estacionário (sem \partial/\partial t). Essas são as equações de partida que vamos simplificar.
A continuidade (incompressibilidade) é
\nabla\cdot\mathbf{u}=0.
A equação de momento (Navier–Stokes, forma convectiva) em regime permanente é
\rho(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} = -\nabla p + \mu\nabla^{2}\mathbf{u} + \rho\mathbf{g}.
Agora vou explicar o significado de cada termo, rapidinho e sem drama:
  • \rho(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} é a aceleração convectiva: representa como a velocidade transporte e muda ao longo do escoamento.
  • -\nabla p é o gradiente de pressão, força por unidade de volume.
  • \mu\nabla^{2}\mathbf{u} é o termo viscoso (difusão de momento).
  • \rho\mathbf{g} é força de corpo (por exemplo gravidade).

Passo 3

Agora escrevo as componentes cartesianas (antes de aplicar as hipóteses) só para visualizar tudo. Expandindo (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} e \nabla^{2}\mathbf{u} temos:
Com continuidade
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0.
Componente x do momento:
\rho\!\left(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu\!\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}\right) + \rho g_x.
Componente y do momento:
\rho\!\left(u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu\!\left(\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial z^{2}}\right) + \rho g_y.
Componente z do momento:
\rho\!\left(u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu\!\left(\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}w}{\partial z^{2}}\right) + \rho g_z.

Passo 4

Agora aplico as hipóteses passo a passo e explico o que cada uma anula ou simplifica.
Hipóteses aplicadas:
  • Regime permanente: já estava assumido, então nada de \partial/\partial t.
  • Sem variação em z e sem escoamento em z: \partial/\partial z=0 e w=0. Isso elimina todos os termos com w ou derivadas em z.
  • Escoamento totalmente desenvolvido (sem variação em x): \partial/\partial x=0. Isso elimina todas as derivadas em x.
Vou usar essas anulações nas equações das componentes.

Passo 5

Simplificação da continuidade:
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0
com \partial/\partial x=0 e \partial/\partial z=0 e w=0 fica
\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Isto significa que v é função constante em y. Em escoamentos confinado (paredes impermeáveis) essa constante normalmente é zero, logo tipicamente v=0. Vou comentar isto porque é útil na prova: se você sabe que não há vazamento através das paredes, então v=0.
Agora simplificação das componentes de momento. Substituindo \partial/\partial x=0, \partial/\partial z=0 e w=0:
Componente x:
  • Termos convectivos: u\partial u/\partial x = 0 (porque \partial/\partial x=0); v\partial u/\partial y permanece em princípio, mas se a condição de parede fixa dá v=0 então também é zero.
  • Termo viscoso: só sobra \mu \partial^{2}u/\partial y^{2}, pois derivadas em x e z anularam.
    Portanto a equação reduz-se a
0 = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} + \rho g_x,
onde coloquei o lado esquerdo como zero porque todos os termos de aceleração (convectivos) tornam-se nulos sob as hipóteses (e regime estacionário).
Componente y:
  • Termos convectivos anulam por \partial/\partial x=0, \partial/\partial z=0 e v constante (frequentemente zero).
  • Termo viscoso envolve segundas derivadas; como \partial/\partial x=\partial/\partial z=0 e \partial^{2}v/\partial y^{2}=0 quando v é linear/constante, ele desaparece.
    Assim sobra a relação de equilíbrio vertical (como em hidroestática):
0 = -\frac{\partial p}{\partial y} + \rho g_y.
Componente z:
  • Com w=0 e \partial/\partial z=0 obtemos
0 = -\frac{\partial p}{\partial z} + \rho g_z.
Como \partial/\partial z=0 impõe que a pressão não varia em z, essa equação implica que \rho g_z deve ser zero (ou que a hipótese de \partial/\partial z=0 combina com g_z=0). Em muitas situações práticas toma-se g_z=0 ou simplesmente aceita-se que \partial p/\partial z=\rho g_z com \partial p/\partial z=0 se g_z=0.

Passo 6

Resumo e interpretação prática (para a prova): a equação mais importante que você vai usar para escoamento totalmente desenvolvido unidimensional é a componente x reduzida, que é uma ODE em y. Rearranjando a equação x obtemos uma forma útil para resolver perfis de velocidade:
\mu\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = \frac{\partial p}{\partial x} - \rho g_x.
Aqui \partial p/\partial x costuma ser uma constante (gradiente de pressão imposto) e \rho g_x é a componente do corpo ao longo de x. Para o caso sem gravidade na direção x ( g_x=0) e com \partial p/\partial x constante negativo (empurra o fluido), esta equação integra para o perfil parabólico clássico de Poiseuille entre placas paralelas.
Lembre-se: a continuidade reduziu-se a \partial v/\partial y=0, o que com condições de parede dá v=0, consolidando o escoamento unidirecional u=u(y).

Resposta

\frac{\partial v}{\partial y}=0
0 = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} + \rho g_x
0 = -\frac{\partial p}{\partial y} + \rho g_y
0 = -\frac{\partial p}{\partial z} + \rho g_z

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