3- (20 pontos) Escreva a equação de Navier-stokes para Escoamento incompressível, Regime permanente, sem escoamento ou variação de propriedades na direção de z , escoamento totalmente desenvolvido, portanto sem variação de propriedades na direção x.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva a equação de Navier–Stokes para as seguintes condições: fluxo incompressível, regime permanente, sem escoamento nem variação na direção
, e escoamento totalmente desenvolvido (sem variação na direção
).
Informações dadas (listadas claramente):
Informações dadas (listadas claramente):
- Fluxo incompressível: a densidade é constante e a divergência da velocidade é nula.
- Regime permanente: não há variação temporal (
). - Sem escoamento na direção
: a componente de velocidade . - Sem variação na direção
: . - Escoamento totalmente desenvolvido: não há variação ao longo da direção
, ou seja . - Variáveis usuais: velocidade
, pressão , densidade , viscosidade dinâmica , aceleração de corpo (gravidade) .
O objetivo é reduzir as equações de Navier–Stokes (continuidade + momento) usando essas hipóteses e escrever a forma simplificada resultante.
Passo 2
Vou começar escrevendo as equações gerais para o caso incompressível e estacionário (sem
). Essas são as equações de partida que vamos simplificar.
A continuidade (incompressibilidade) é
A equação de momento (Navier–Stokes, forma convectiva) em regime permanente é
Agora vou explicar o significado de cada termo, rapidinho e sem drama:
-
é a aceleração convectiva: representa como a velocidade transporte e muda ao longo do escoamento. -
é o gradiente de pressão, força por unidade de volume. -
é o termo viscoso (difusão de momento). -
é força de corpo (por exemplo gravidade).
Passo 3
Agora escrevo as componentes cartesianas (antes de aplicar as hipóteses) só para visualizar tudo. Expandindo
e
temos:
Com continuidade
Componente
do momento:
Componente
do momento:
Componente
do momento:
Passo 4
Agora aplico as hipóteses passo a passo e explico o que cada uma anula ou simplifica.
Hipóteses aplicadas:
- Regime permanente: já estava assumido, então nada de
. - Sem variação em
e sem escoamento em : e . Isso elimina todos os termos com ou derivadas em . - Escoamento totalmente desenvolvido (sem variação em
): . Isso elimina todas as derivadas em .
Vou usar essas anulações nas equações das componentes.
Passo 5
Simplificação da continuidade:
com
e
e
fica
Isto significa que
é função constante em
. Em escoamentos confinado (paredes impermeáveis) essa constante normalmente é zero, logo tipicamente
. Vou comentar isto porque é útil na prova: se você sabe que não há vazamento através das paredes, então
.
Agora simplificação das componentes de momento. Substituindo
,
e
:
Componente
:
- Termos convectivos:
(porque ); permanece em princípio, mas se a condição de parede fixa dá então também é zero. - Termo viscoso: só sobra
, pois derivadas em e anularam.
Portanto a equação reduz-se a
onde coloquei o lado esquerdo como zero porque todos os termos de aceleração (convectivos) tornam-se nulos sob as hipóteses (e regime estacionário).
Componente
:
- Termos convectivos anulam por
, e constante (frequentemente zero). - Termo viscoso envolve segundas derivadas; como
e quando é linear/constante, ele desaparece.
Assim sobra a relação de equilíbrio vertical (como em hidroestática):
Componente
:
- Com
e obtemos
Como
impõe que a pressão não varia em
, essa equação implica que
deve ser zero (ou que a hipótese de
combina com
). Em muitas situações práticas toma-se
ou simplesmente aceita-se que
com
se
.
Passo 6
Resumo e interpretação prática (para a prova): a equação mais importante que você vai usar para escoamento totalmente desenvolvido unidimensional é a componente
reduzida, que é uma ODE em
. Rearranjando a equação
obtemos uma forma útil para resolver perfis de velocidade:
Aqui
costuma ser uma constante (gradiente de pressão imposto) e
é a componente do corpo ao longo de
. Para o caso sem gravidade na direção
(
) e com
constante negativo (empurra o fluido), esta equação integra para o perfil parabólico clássico de Poiseuille entre placas paralelas.
Lembre-se: a continuidade reduziu-se a
, o que com condições de parede dá
, consolidando o escoamento unidirecional
.