Note que há um erro no resultado final da circulação absoluta Ca, apontado pelo professor. Mostre (explique) qual foi o equívoco do aluno (corrija).

Passo 1

O enunciado dá (peguei os dados do enunciado/imagem):
  • Altura inicial da coluna: \,h_1 = 500\\ \mathrm{m}.
  • Raio inicial da coluna: \,R_1 = 10\\ \mathrm{km} = 1{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{m}.
  • Na nova posição a profundidade do fundo (altura da coluna) é \,h_2 = 300\\ \mathrm{m}.
  • Volume da coluna é conservado e o deslocamento não altera a latitude (a coluna permanece na mesma latitude, ou seja, f constante). O enunciado refere-se a Santos; vou usar a latitude aproximada \varphi = -24^\circ (24°S) para avaliar f.
  • O fluido é invíscido e barotrópico, e a superfície livre tem deslocamento desprezível.
O que se pede:
  • Calcular a circulação relativa na nova posição (ou seja, C_2).
  • Calcular a circulação absoluta (valor final de C_a ou a conservação do mesmo).
  • Determinar se a circulação relativa é ciclônica ou anticiclônica.
Não vou resolver nada ainda — só coloquei os dados e as perguntas.

Passo 2

Conservar volume para obter o novo raio \,R_2.
Fórmula de conservação de volume:
V = \pi R^2 h = \text{constante}.
Portanto
\pi R_1^2 h_1 = \pi R_2^2 h_2
e isolando \,R_2:
R_2 = R_1\sqrt{\frac{h_1}{h_2}}.
Agora aplico os números (faço as contas passo a passo):
\frac{h_1}{h_2}=\frac{500}{300}=\frac{5}{3}\approx 1{,}666\ldots
\sqrt{\frac{h_1}{h_2}}=\sqrt{\frac{5}{3}}\approx 1{,}290994\ldots
R_2 = 1{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{m}\times 1{,}290994\ldots \approx 1{,}291\times10^{4}\\ \mathrm{m}.
Comentário sobre o erro do aluno: o aluno calculou \,R_2\approx 1{,}58\times10^{4}\\ \mathrm{m} (vejo isso nas anotações). Esse valor está errado — a raiz \sqrt{5/3} não é 1{,}58 mas cerca de 1{,}291. Essa é a primeira fonte de erro numérico que leva a circulações incorretas.

Passo 3

Calcular as áreas relevantes A_1 e A_2 (áreas das bases das colunas) e a variação \Delta A.
Definição:
A = \pi R^2.
Cálculos:
A_1 = \pi R_1^2 = \pi (1{,}0\times10^{4})^{2} = \pi \times 1{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m^2}\approx 3{,}1416\times10^{8}\\ \mathrm{m^2}.
R_2^2 = (1{,}291\times10^{4})^{2} \approx 1{,}6667\times10^{8}
A_2 = \pi R_2^2 \approx \pi \times 1{,}6667\times10^{8}\\ \mathrm{m^2}\approx 5{,}23599\times10^{8}\\ \mathrm{m^2}.
\Delta A = A_2 - A_1 \approx 5{,}23599\times10^{8} - 3{,}1416\times10^{8} \approx 2{,}0944\times10^{8}\\ \mathrm{m^2}.
(Observação: estes são valores arredondados com 4 dígitos significativos; o erro do aluno em R_2 faria \Delta A ser muito diferente.)

Passo 4

Escrever e explicar o teorema que usamos (Kelvin em quadro rotante) e a relação entre circulação relativa e absoluta.
Teorema (na forma útil aqui):
  • A circulação absoluta em torno de uma curva material é conservada num fluido invíscido e barotrópico sujeito à rotação planetária. Em forma diferencial, para circulação relativa C e parâmetro de Coriolis local f (constante porque a latitude não muda),
\frac{d}{dt}\bigl(C + f A \bigr)=0,
onde A é a área horizontal do contorno material (a “área da coluna”) e f=2\Omega\sin\varphi é o parâmetro de Coriolis no ponto ( \Omega é a rotação da Terra, \varphi a latitude).
Explicação das quantidades:
  • C é a circulação relativa: integral da velocidade relativa ao sistema de rotação ao longo da fronteira da coluna.
  • fA é a contribuição planetária (às vezes chamada de “circulação planetária” associada ao rotor sólido da Terra sobre a área).
  • A circulação absoluta é C_a = C + fA e é constante no transporte material (se o fluido é invíscido e barotrópico).
Aplicando entre estado inicial (1) e final (2):
C_2 + f A_2 = C_1 + f A_1.
No enunciado a coluna estava inicialmente em repouso, então C_1 = 0. Daí
C_2 = -f (A_2 - A_1).
E a circulação absoluta (qualquer instante) é
C_a = C + f A = \text{constante} = f A_1 \quad(\text{aqui } C_1=0).
Comentário sobre o erro conceitual possível do aluno: se o aluno tratou a fórmula com 2\Omega sem multiplicar por \sin\varphi ou interpretou mal o fator geométrico A\sin\theta (confusão entre ângulo colatitude/latitude), ele pode ter trocado o sinal ou magnitude de f. A forma correta usa f=2\Omega\sin\varphi. Como a latitude não muda, f é constante e, portanto, C_a deve permanecer igual a fA_1. Isso implica que se C_1=0 a circulação absoluta inicial é apenas fA_1 e permanece assim; não se “cria” nem se “perde” Ca.

Passo 5

Calcular numericamente f, C_2 (circulação relativa final) e C_a (circulação absoluta). Também interpreto o sinal quanto a ciclonicidade.
Constantes e avaliação:
\Omega \approx 7{,}292\times10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}},\qquad \varphi = -24^\circ\\ (\text{24°S}).
\sin\varphi = \sin(-24^\circ) = -\sin(24^\circ)\approx -0{,}4067366.
f = 2\Omega\sin\varphi \approx 2\times 7{,}292\times10^{-5}\times (-0{,}4067366)\approx -5{,}93\times10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Agora C_2:
C_2 = -f\,(A_2 - A_1) = -f\,\Delta A.
Usando \Delta A\approx 2{,}0944\times10^{8}\\ \mathrm{m^2} e f\approx -5{,}93\times10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}}:
C_2 \approx -(-5{,}93\times10^{-5})\times 2{,}0944\times10^{8} \approx +1{,}24\times10^{4}\\ \mathrm{m^2/s}.
Circulação absoluta (constante, igual ao inicial fA_1):
C_a = f A_1 \approx (-5{,}93\times10^{-5})\times 3{,}1416\times10^{8} \approx -1{,}86\times10^{4}\\ \mathrm{m^2/s}.
Consistência (cheque rápido):
C_2 + fA_2 \approx 1{,}24\times10^{4} + (-5{,}93\times10^{-5})\times 5{,}236\times10^{8} \approx 1{,}24\times10^{4} - 3{,}10\times10^{4} \approx -1{,}86\times10^{4},
que coincide com C_a calculado como fA_1. Logo está consistente.
Interpretação do sinal e ciclonicidade:
  • Encontramos C_2>0 (circulação relativa positiva). Em termos de rotação, circulação positiva corresponde a rotação no sentido anti-horário (counterclockwise).
  • Em hemisfério Sul (Santos, 24°S), o sentido ciclônico é o sentido horário (clockwise), o que corresponde a circulação relativa negativa. Portanto uma circulação relativa positiva corresponde a comportamento anticlônico (anticiclônico) no hemisfério Sul.
Conclusão sobre o equívoco do aluno:
  • Erro numérico no cálculo de R_2 (usou \sqrt{5/3} incorretamente como \approx 1{,}58 em vez de \approx 1{,}291). Isso altera A_2, \Delta A e, consequentemente, C_2 e C_a.
  • Possível confusão com o fator f=2\Omega\sin\varphi (usar 2\Omega sem o \sin\varphi ou interpretar mal o fator geométrico) levaria também a erro no valor e sinal da circulação absoluta. A forma correta para a contribuição planetária é fA com f=2\Omega\sin\varphi.

Resposta

Circulação relativa final: C_2 \approx +1,24\times10^{4}\\ \mathrm{m^{2}/s} (anticiclônica, pois estamos em 24°S).\nCirculação absoluta (conservada): C_a = fA_1 \approx -1,86\times10^{4}\\ \mathrm{m^{2}/s}.

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