(20 pontos) - Estabeleça a solução geral y=y_{c}+y_{p} da equação diferencial y^{\prime \prime \prime}-5 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime \prime}=8+2 \operatorname{sen} x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes
y'''-5y''+6y'=8+2\sin x,
que escrevemos como y=y_c+y_p, onde y_c é a solução da homogênea e y_p é uma particular.

Passo 2

Para achar y_c, resolvemos a equação característica
r^3-5r^2+6r=0
fatorando
r(r^2-5r+6)=r(r-2)(r-3)=0.
As raízes são r=0, r=2 e r=3, todas simples. Logo
y_c=C_1e^{0x}+C_2e^{2x}+C_3e^{3x} =C_1+C_2e^{2x}+C_3e^{3x}.

Passo 3

Para y_p, separamos o termo constante 8 e o termo 2\sin x. Escrevemos
y_p=y_{p1}+y_{p2}.
Como r=0 é raiz simples, para o forçamento constante usamos o ansatz y_{p1}=Ax. Calculamos
y_{p1}'=A,\quad y_{p1}''=0,\quad y_{p1}'''=0,
então na equação
y_{p1}'''-5y_{p1}''+6y_{p1}'=6A=8 \quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac{4}{3}.
Ficando
y_{p1}=\tfrac{4}{3}\,x.

Passo 4

Para o termo 2\sin x usamos y_{p2}=B\sin x+ D\cos x. Derivando:
y_{p2}'=B\cos x-D\sin x,\quad y_{p2}''=-B\sin x -D\cos x,\quad y_{p2}'''=-B\cos x +D\sin x.
Substituindo em y'''-5y''+6y' obtemos
y_{p2}'''-5y_{p2}''+6y_{p2}' =5(C-D)\sin x+5(B+D)\cos x
(depois de recolher termos). Igualando a 2\sin x+0\cos x dá o sistema
5(B-D)=2,\quad5(B+D)=0 \quad\Longrightarrow\quad B=\tfrac{1}{5},\;D=-\tfrac{1}{5}.
Logo
y_{p2}=\tfrac{1}{5}\sin x-\tfrac{1}{5}\cos x.

Passo 5

Somando as partes, a solução particular é
y_p=\tfrac{4}{3}x+\tfrac{1}{5}\sin x-\tfrac{1}{5}\cos x
e a solução geral fica
y=y_c+y_p =C_1+C_2e^{2x}+C_3e^{3x} +\tfrac{4}{3}x+\tfrac{1}{5}\sin x-\tfrac{1}{5}\cos x.

Resposta

\boxed{y(x)=C_1+C_2e^{2x}+C_3e^{3x}+\tfrac{4}{3}x+\tfrac{1}{5}\sin x-\tfrac{1}{5}\cos x.}

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