(20 pontos) - Estabeleça a solução geral
da equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes
que escrevemos como
, onde
é a solução da homogênea e
é uma particular.
Passo 2
Para achar
, resolvemos a equação característica
fatorando
As raízes são
,
e
, todas simples. Logo
Passo 3
Para
, separamos o termo constante
e o termo
. Escrevemos
Como
é raiz simples, para o forçamento constante usamos o ansatz
. Calculamos
então na equação
Ficando
Passo 4
Para o termo
usamos
. Derivando:
Substituindo em
obtemos
(depois de recolher termos). Igualando a
dá o sistema
Logo
Passo 5
Somando as partes, a solução particular é
e a solução geral fica