Questão 5 - Duas empresas (A e B) competem, de forma não cooperativa, pela distribuição de arroz no mercado consumidor. Estas distribuidoras compram o arroz de inúmeros pequenos produtores, que vendem o produto pelo custo marginal de produção \rho(q) e revendem o arroz no mercado consumidor pelo preço \pi(d), onde:
\rho(q)=2000+2 q
\pi(\mathrm{d})=9500-3 \mathrm{~d}
sendo:
\rho(q) é a função de custo marginal de produção dos produtores de arroz, em R$/ton;
\pi(\mathrm{d}) é a função inversa da demanda (preço praticado no mercado consumidor), em R$/ton; q é a quantidade total comprada dos produtores de arroz, em ton/mês; d é a quantidade total de arroz vendida no mercado consumidor, em ton/mês.
Considerando que a distribuidora A e a distribuidora B apresentam custos marginais de distribuição de 700 R$/ton e 1200 R$/ton, respectivamente, para realização do transporte e beneficiamento, pede-se para este problema:
a) Construa o modelo (VIP) para determinação do equilíbrio de Nash, e com base nele responda as questões próximas; ( 2,0 ptos)
b) Como você determinaria a quantidade entregue ao mercado consumidor por cada distribuidora com o uso deste modelo? ( 0,5 ptos)
c) Como você determinaria o preço pago aos produtores de arroz? ( 0,5 ptos)
d) Como você determinaria o preço pago pelos consumidores de arroz? ( 0,5 ptos)
e) Como você determinaria o ganho de cada empresa distribuidora? ( 0,5 ptos)

Passo 1

O enunciado trata de duas distribuidoras, A e B, que compram arroz de produtores cujo preço marginal de oferta é
\rho(q)=2000+2q,
e o vendem no mercado consumidor a preço dado pela demanda inversa
\pi(d)=9500-3d.
Cada distribuidora i\in\{A,B\} escolhe a quantidade d_i\ge0 a entregar, tem custo marginal de distribuição m_A=700 e m_B=1200, e paga o arroz ao custo \rho(q) com q=d_A+d_B=d. O problema é formular o VIP (problema de desigualdade variacional) cujo ponto de equilíbrio de Nash em quantidades resolve.

Passo 2

Definimos o vetor de decisões d=(d_A,d_B)\in\mathbb{R}^2_+. A função lucro de i é
\Pi_i(d)=\bigl(\pi(d)-\rho(d)-m_i\bigr)d_i =\bigl(9500-3(d_A+d_B)-\bigl[2000+2(d_A+d_B)\bigr]-m_i\bigr)\,d_i
=\bigl(7500-5(d_A+d_B)-m_i\bigr)\,d_i.
Para formular o VIP, calculamos o gradiente de -\Pi=( -\Pi_A,\,-\Pi_B) em relação a (d_A,d_B). Isso leva ao operador
F(d) =\begin{pmatrix} -\frac{\partial\Pi_A}{\partial d_A}\\[6pt] -\frac{\partial\Pi_B}{\partial d_B} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 10\,d_A+5\,d_B-7500+m_A\\[4pt] 5\,d_A+10\,d_B-7500+m_B \end{pmatrix}.
O VIP é: encontrar d^*\in\mathbb{R}^2_+ tal que
F(d^*)^{\!T}\,(z-d^*)\;\ge\;0 \quad\forall\,z\in\mathbb{R}^2_+.]

Passo 3

Para determinar a quantidade d^*=(d_A^*,d_B^*) basta resolver o VIP ou equivalente as condições de fronteira/complementaridade
F(d^*)=\mathbf 0
no interior de \R^2_+, ou seja as condições de primeira ordem (best-response)
10\,d_A^*+5\,d_B^* -7500 + m_A =0, \quad 5\,d_A^*+10\,d_B^* -7500 + m_B =0.

Passo 4

O preço pago aos produtores no equilíbrio é
P_{\rm prod}=\rho\bigl(d_A^*+d_B^*\bigr) =2000+2\,(d_A^*+d_B^*).

Passo 5

O preço pago pelos consumidores é
P_{\rm cons}=\pi\bigl(d_A^*+d_B^*\bigr) =9500-3\,(d_A^*+d_B^*).

Passo 6

O ganho (lucro) de cada distribuidora i no equilíbrio é
\Pi_i^*=\bigl(P_{\rm cons}-P_{\rm prod}-m_i\bigr)\,d_i^*.

Resposta

a) O VIP para o equilíbrio de Nash é: encontrar d^*=(d_A^*,d_B^*)\ge0 tal que
F(d^*)^{\!T}\,(z-d^*)\ge0\quad\forall z\ge0,
com
F(d)=\begin{pmatrix} 10\,d_A+5\,d_B-7500+m_A\\\\ 5\,d_A+10\,d_B-7500+m_B \end{pmatrix}.
b) As quantidades d_A^* e d_B^* são obtidas resolvendo simultaneamente
10\,d_A+5\,d_B=7500-m_A, \quad 5\,d_A+10\,d_B=7500-m_B.
c) O preço aos produtores é P_{\rm prod}=\rho(d_A^*+d_B^*)=2000+2(d_A^*+d_B^*).
d) O preço aos consumidores é P_{\rm cons}=\pi(d_A^*+d_B^*)=9500-3(d_A^*+d_B^*).
e) O lucro de i é \displaystyle\Pi_i^*=\bigl(P_{\rm cons}-P_{\rm prod}-m_i\bigr)\,d_i^*.

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