Questão 5 - Duas empresas (A e B) competem, de forma não cooperativa, pela distribuição de arroz no mercado consumidor. Estas distribuidoras compram o arroz de inúmeros pequenos produtores, que vendem o produto pelo custo marginal de produção \rho(q) e revendem o arroz no mercado consumidor pelo preço \pi(d), onde: \rho(q)=2000+2 q \pi(\mathrm{d})=9500-3 \mathrm{~d}
sendo: \rho(q) é a função de custo marginal de produção dos produtores de arroz, em R$/ton; \pi(\mathrm{d}) é a função inversa da demanda (preço praticado no mercado consumidor), em R$/ton; q é a quantidade total comprada dos produtores de arroz, em ton/mês; d é a quantidade total de arroz vendida no mercado consumidor, em ton/mês.
Considerando que a distribuidora A e a distribuidora B apresentam custos marginais de distribuição de 700 R$/ton e 1200 R$/ton, respectivamente, para realização do transporte e beneficiamento, pede-se para este problema:
a) Construa o modelo (VIP) para determinação do equilíbrio de Nash, e com base nele responda as questões próximas; ( 2,0 ptos)
b) Como você determinaria a quantidade entregue ao mercado consumidor por cada distribuidora com o uso deste modelo? ( 0,5 ptos)
c) Como você determinaria o preço pago aos produtores de arroz? ( 0,5 ptos)
d) Como você determinaria o preço pago pelos consumidores de arroz? ( 0,5 ptos)
e) Como você determinaria o ganho de cada empresa distribuidora? ( 0,5 ptos)
Passo 1
O enunciado trata de duas distribuidoras, A e B, que compram arroz de produtores cujo preço marginal de oferta é
\rho(q)=2000+2q,
e o vendem no mercado consumidor a preço dado pela demanda inversa
\pi(d)=9500-3d.
Cada distribuidora i\in\{A,B\} escolhe a quantidade d_i\ge0 a entregar, tem custo marginal de distribuição m_A=700 e m_B=1200, e paga o arroz ao custo \rho(q) com q=d_A+d_B=d. O problema é formular o VIP (problema de desigualdade variacional) cujo ponto de equilíbrio de Nash em quantidades resolve.
Passo 2
Definimos o vetor de decisões d=(d_A,d_B)\in\mathbb{R}^2_+. A função lucro de i é
c) O preço aos produtores é P_{\rm prod}=\rho(d_A^*+d_B^*)=2000+2(d_A^*+d_B^*).
d) O preço aos consumidores é P_{\rm cons}=\pi(d_A^*+d_B^*)=9500-3(d_A^*+d_B^*).
e) O lucro de i é \displaystyle\Pi_i^*=\bigl(P_{\rm cons}-P_{\rm prod}-m_i\bigr)\,d_i^*.