( 20 pontos) Estude a posição relativa entre a reta
e o plano
dados por:
Com base na posição encontrada, se forem concorrentes, determine o ponto de interseção e o ângulo entre a reta e o plano. Se forem paralelos, calcule a distância entre eles.
“… O poder é de vocês…”
Capitão Planeta
“… O poder é de vocês…”
Capitão Planeta
Capitão Planeta
Passo 1
O enunciado pede para estudar a posição relativa entre a reta
e o plano
e, conforme o caso:
- se forem concorrentes (ou seja, se a reta intersecta o plano): determinar o ponto de interseção e o ângulo entre a reta e o plano;
- se forem paralelos: calcular a distância entre eles.
Informações dadas:
Vou usar essas informações para (1) decidir a posição relativa; (2) se houver interseção, achar o ponto e o ângulo; (3) caso fossem paralelos, saberia calcular a distância (explico a fórmula).
Passo 2
Passo inicial prático: escrever a reta em forma paramétrica para identificar um ponto que pertence a
e o vetor diretor da reta.
A forma simétrica
introduz um parâmetro
tal que
Dessa forma, um ponto qualquer da reta é
Em particular, para
temos o ponto inicial
O vetor diretor da reta é o coeficiente de
:
Do plano
extraímos o vetor normal do plano:
porque os coeficientes de
formam o normal.
Passo 3
Agora decidimos a posição relativa entre reta e plano. Regra prática:
- se
, a reta é paralela ao plano (podendo estar contida nele se o ponto da reta satisfizer a equação do plano); - se
, a reta corta o plano em exatamente um ponto (são concorrentes).
Calculemos o produto escalar:
Como
, concluímos que a reta
não é paralela ao plano
. Portanto, eles se intersectam em um único ponto (são concorrentes). Não há necessidade de testar contenção do tipo “reta toda no plano” porque o produto escalar não é zero.
Passo 4
Para achar o ponto de interseção, substituímos a parametrização da reta na equação do plano e resolvemos para
.
Substituindo
,
,
em
:
Calcule passo a passo:
Agrupando termos constantes e termos em
:
Logo
Agora o ponto de interseção
é
com
:
Portanto
Passo 5
Agora vamos calcular o ângulo entre a reta e o plano. Explico a ideia antes de calcular:
- Seja
o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. O cosseno desse ângulo é dado por
onde
é a norma (comprimento) do vetor e o valor absoluto garante um valor não negativo.
- O ângulo
entre a reta e o plano é o complementar de :
Uma fórmula prática muito usada é
porque
. Assim podemos obter
via arco seno.
Calculemos as normas:
Já calculámos
. Portanto
Simplificando:
Logo uma expressão exata para o ângulo é
Valor numérico aproximado (graus):
(Se preferir em radianos,
.)
Passo 6
Resumo final (motivação para a prova): a rotina que usamos é sempre a mesma em questões desse tipo — extrair ponto e vetor diretor da reta, extrair normal do plano, checar
para saber se é paralelo/contido/intersecta, resolver por substituição para achar o ponto de interseção e usar produto escalar e normas para achar o ângulo. Dá para fazer isso sem calculadora para as fórmulas e para simplificações algébricas; só a avaliação numérica do arco seno pode precisar dela, mas a forma exata é suficiente em prova.