( 20 pontos) Estude a posição relativa entre a reta r e o plano \pi dados por:
r: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{-1} \quad \text { e } \quad \pi: 2 x+y-z-5=0 .
Com base na posição encontrada, se forem concorrentes, determine o ponto de interseção e o ângulo entre a reta e o plano. Se forem paralelos, calcule a distância entre eles.
“… O poder é de vocês…”
Capitão Planeta

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa entre a reta r e o plano \pi e, conforme o caso:
  • se forem concorrentes (ou seja, se a reta intersecta o plano): determinar o ponto de interseção e o ângulo entre a reta e o plano;
  • se forem paralelos: calcular a distância entre eles.
Informações dadas:
r: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{-1}
\pi: 2x+y-z-5=0
Vou usar essas informações para (1) decidir a posição relativa; (2) se houver interseção, achar o ponto e o ângulo; (3) caso fossem paralelos, saberia calcular a distância (explico a fórmula).

Passo 2

Passo inicial prático: escrever a reta em forma paramétrica para identificar um ponto que pertence a r e o vetor diretor da reta.
A forma simétrica
\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{-1}
introduz um parâmetro t tal que
x=1+t,\qquad y=2+3t,\qquad z=-t.
Dessa forma, um ponto qualquer da reta é
P(t)=(1+t,\;2+3t,\;-t).
Em particular, para t=0 temos o ponto inicial
P_0=(1,2,0).
O vetor diretor da reta é o coeficiente de t:
\mathbf{v}=(1,3,-1).
Do plano \pi:2x+y-z-5=0 extraímos o vetor normal do plano:
\mathbf{n}=(2,1,-1),
porque os coeficientes de x,y,z formam o normal.

Passo 3

Agora decidimos a posição relativa entre reta e plano. Regra prática:
  • se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0, a reta é paralela ao plano (podendo estar contida nele se o ponto da reta satisfizer a equação do plano);
  • se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\neq0, a reta corta o plano em exatamente um ponto (são concorrentes).
Calculemos o produto escalar:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}= (1)(2)+(3)(1)+(-1)(-1)=2+3+1=6.
Como \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=6\neq0, concluímos que a reta r não é paralela ao plano \pi. Portanto, eles se intersectam em um único ponto (são concorrentes). Não há necessidade de testar contenção do tipo “reta toda no plano” porque o produto escalar não é zero.

Passo 4

Para achar o ponto de interseção, substituímos a parametrização da reta na equação do plano e resolvemos para t.
Substituindo x=1+t, y=2+3t, z=-t em 2x+y-z-5=0:
2(1+t)+(2+3t)-(-t)-5=0.
Calcule passo a passo:
2+2t+2+3t+t-5=0.
Agrupando termos constantes e termos em t:
(2+2-5)+(2t+3t+t)= -1 + 6t =0.
Logo
6t=1 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{6}.
Agora o ponto de interseção Q é P(t) com t=\dfrac{1}{6}:
x_Q=1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6},\qquad y_Q=2+3\cdot\frac{1}{6}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2},\qquad z_Q=-\frac{1}{6}.
Portanto
Q=\left(\frac{7}{6},\;\frac{5}{2},\;-\frac{1}{6}\right).

Passo 5

Agora vamos calcular o ângulo entre a reta e o plano. Explico a ideia antes de calcular:
  • Seja \varphi o ângulo entre o vetor diretor \mathbf{v} da reta e o vetor normal \mathbf{n} do plano. O cosseno desse ângulo é dado por
\cos\varphi=\frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\;\|\mathbf{n}\|},
onde \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor e o valor absoluto garante um valor não negativo.
  • O ângulo \alpha entre a reta e o plano é o complementar de \varphi:
\alpha=90^\circ-\varphi.
Uma fórmula prática muito usada é
\sin\alpha=\frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\;\|\mathbf{n}\|},
porque \sin\alpha=\cos\varphi. Assim podemos obter \alpha via arco seno.
Calculemos as normas:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11},
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.
Já calculámos \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=6. Portanto
\sin\alpha=\frac{6}{\sqrt{11}\,\sqrt{6}}=\frac{6}{\sqrt{66}}.
Simplificando:
\frac{6}{\sqrt{66}}=\frac{6\sqrt{66}}{66}=\frac{\sqrt{66}}{11}.
Logo uma expressão exata para o ângulo é
\alpha=\arcsin\!\left(\frac{\sqrt{66}}{11}\right).
Valor numérico aproximado (graus):
\alpha\approx 47{,}62^\circ.
(Se preferir em radianos, \alpha\approx0{,}8310\\ \text{rad}.)

Passo 6

Resumo final (motivação para a prova): a rotina que usamos é sempre a mesma em questões desse tipo — extrair ponto e vetor diretor da reta, extrair normal do plano, checar \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} para saber se é paralelo/contido/intersecta, resolver por substituição para achar o ponto de interseção e usar produto escalar e normas para achar o ângulo. Dá para fazer isso sem calculadora para as fórmulas e para simplificações algébricas; só a avaliação numérica do arco seno pode precisar dela, mas a forma exata é suficiente em prova.

Resposta

Q=\left(\dfrac{7}{6},\;\dfrac{5}{2},\;-\dfrac{1}{6}\right)
\alpha=\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{66}}{11}\right)\approx47{,}62^\circ

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