Dados os vetores \vec{a}=(1,0,-2), \vec{b}=(3,1,1) e \vec{c}=(0,-1,2). Calcule:
O volume do paralelepípedo definido pelos vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=(1,0,-2), \vec{b}=(3,1,1) e \vec{c}=(0,-1,2) e pede o volume do paralelepípedo determinado por esses três vetores.
Informações importantes fornecidas:
  • As componentes de \vec{a}, \vec{b} e \vec{c} (já listadas acima).
  • A tarefa é calcular um volume no espaço 3D associado a esses vetores.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
  • O volume do paralelepípedo determinado por três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto escalar triple (produto misto) \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}). Ou seja,
\text{Volume} = \left|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\right|.
Explicando em miúdos: \vec{b}\times\vec{c} produz um vetor perpendicular ao plano gerado por \vec{b} e \vec{c} cuja norma é a área do paralelogramo formado por \vec{b} e \vec{c}. Ao fazer o produto escalar desse vetor com \vec{a} obtemos (com sinal) a “altura” multiplicada por essa área — ou seja, o volume orientado. Tomando o valor absoluto obtemos o volume positivo.
Fórmula prática para o produto vetorial \vec{b}\times\vec{c}: se \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) e \vec{c}=(c_1,c_2,c_3), então
\vec{b}\times\vec{c} = \big(b_2 c_3 - b_3 c_2,\; b_3 c_1 - b_1 c_3,\; b_1 c_2 - b_2 c_1\big).
Depois calculamos o produto escalar \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = a_1 (b\times c)_1 + a_2 (b\times c)_2 + a_3 (b\times c)_3.

Passo 3

Calcular \vec{b}\times\vec{c} passo a passo usando \vec{b}=(3,1,1) e \vec{c}=(0,-1,2).
Usando a fórmula:
(\vec{b}\times\vec{c})_1 = b_2 c_3 - b_3 c_2 = 1\cdot2 - 1\cdot(-1) = 2 + 1 = 3,
(\vec{b}\times\vec{c})_2 = b_3 c_1 - b_1 c_3 = 1\cdot0 - 3\cdot2 = 0 - 6 = -6,
(\vec{b}\times\vec{c})_3 = b_1 c_2 - b_2 c_1 = 3\cdot(-1) - 1\cdot0 = -3 - 0 = -3.
Logo,
\vec{b}\times\vec{c} = (3,-6,-3).

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) com \vec{a}=(1,0,-2) e \vec{b}\times\vec{c}=(3,-6,-3):
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = 1\cdot3 + 0\cdot(-6) + (-2)\cdot(-3).
Fazendo as multiplicações:
1\cdot3 = 3,\qquad 0\cdot(-6)=0,\qquad (-2)\cdot(-3)=6.
Somando:
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = 3 + 0 + 6 = 9.

Passo 5

Tomamos o valor absoluto para obter o volume (volume é não-negativo):
\text{Volume} = \left|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\right| = |9| = 9.
Dica rápida: como verificação alternativa, poderia-se calcular o determinante da matriz 3\times3 cujas colunas são \vec{a},\vec{b},\vec{c}; esse determinante dá exatamente \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}). Se quiser eu mostro esse cálculo também, mas o resultado já bate com o que fizemos.

Resposta

\,9\,

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