Dados os vetores \vec{a}=(1,0,-2), \vec{b}=(3,1,1) e \vec{c}=(0,-1,2). Calcule:
O volume do paralelepípedo definido pelos vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}.
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec{a}=(1,0,-2), \vec{b}=(3,1,1) e \vec{c}=(0,-1,2) e pede o volume do paralelepípedo determinado por esses três vetores.
Informações importantes fornecidas:
As componentes de \vec{a}, \vec{b} e \vec{c} (já listadas acima).
A tarefa é calcular um volume no espaço 3D associado a esses vetores.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
O volume do paralelepípedo determinado por três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto escalar triple (produto misto) \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}). Ou seja,
Explicando em miúdos: \vec{b}\times\vec{c} produz um vetor perpendicular ao plano gerado por \vec{b} e \vec{c} cuja norma é a área do paralelogramo formado por \vec{b} e \vec{c}. Ao fazer o produto escalar desse vetor com \vec{a} obtemos (com sinal) a “altura” multiplicada por essa área — ou seja, o volume orientado. Tomando o valor absoluto obtemos o volume positivo.
Fórmula prática para o produto vetorial \vec{b}\times\vec{c}: se \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) e \vec{c}=(c_1,c_2,c_3), então
Dica rápida: como verificação alternativa, poderia-se calcular o determinante da matriz 3\times3 cujas colunas são \vec{a},\vec{b},\vec{c}; esse determinante dá exatamente \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}). Se quiser eu mostro esse cálculo também, mas o resultado já bate com o que fizemos.