Qual dos conjuntos numéricos a seguir não é um exemplo de anel?
◯ a. O conjunto dos números racionais.
◯ b. O conjunto dos números inteiros.
◯ c. O conjunto dos números naturais.
◯ d. O conjunto dos números reais.
◯ e. O conjunto dos números complexos.

Passo 1

O enunciado pergunta qual dos conjuntos numéricos listados NÃO é um exemplo de anel. As opções são:
  • (a) o conjunto dos números racionais \mathbb{Q};
  • (b) o conjunto dos números inteiros \mathbb{Z};
  • (c) o conjunto dos números naturais \mathbb{N};
  • (d) o conjunto dos números reais \mathbb{R};
  • (e) o conjunto dos números complexos \mathbb{C}.
O que se pede: identificar, entre essas cinco opções, qual conjunto NÃO satisfaz a definição de anel.

Passo 2

O que é um anel? Vou explicar direitinho, devagarinho, sem pular etapas.
Um conjunto A equipado com duas operações (adição e multiplicação) é um anel se, com respeito a essas operações, valem as seguintes propriedades básicas:
  1. (Grupo aditivo) (A,+) é um grupo abeliano. Isso significa:
    • Fechamento: se x,y\in A então x+y\in A.
    • Elemento neutro aditivo: existe 0\in A tal que x+0=x para todo x\in A.
    • Inverso aditivo: para todo x\in A existe -x\in A tal que x+(-x)=0.
    • Associatividade e comutatividade da adição (essas são naturais para os conjuntos numéricos).
  2. (Multiplicação) A multiplicação é associativa: para todo x,y,z\in A, (x y) z = x (y z).
  3. (Distributividade) A multiplicação distribui sobre a adição: para todo x,y,z\in A,
    x(y+z)=xy+xz e (y+z)x=yx+zx.
    Observações úteis e comuns:
  • Alguns textos exigem também que exista elemento unidade multiplicativa 1\in A com 1\cdot x=x para todo x. Outros não exigem isso; mas isso não afeta a questão aqui porque todos os candidatos exceto \mathbb{N} têm unidade.
  • O ponto crucial que normalmente falha para \mathbb{N} é a exigência do inverso aditivo: cada elemento precisa ter seu oposto dentro do conjunto.

Passo 3

Verificando \mathbb{Z} (inteiros):
  • \mathbb{Z} é fechado em soma e produto.
  • O elemento 0 pertence a \mathbb{Z}.
  • Para todo n\in\mathbb{Z} existe -n\in\mathbb{Z}.
  • Multiplicação é associativa e distribuiva sobre a soma.
    Portanto \mathbb{Z} satisfaz todas as condições e é um anel (na verdade, um domínio íntegro).

Passo 4

Verificando \mathbb{Q}, \mathbb{R} e \mathbb{C}:
  • Cada um desses conjuntos é fechado sob adição e multiplicação.
  • Cada um contém 0 e, para todo elemento x existe -x no próprio conjunto.
  • As propriedades de associatividade e distributividade valem.
  • Além disso, são campos (ou seja, têm inversos multiplicativos para todos os elementos não nulos), o que é uma condição mais forte que ser anel.
    Logo \mathbb{Q}, \mathbb{R} e \mathbb{C} são exemplos de anéis (na verdade, são corpos/fields).

Passo 5

Verificando \mathbb{N} (naturais):
  • Dependendo da convenção, \mathbb{N} pode ser \{0,1,2,\dots\} ou \{1,2,3,\dots\}. Mesmo se incluirmos 0, o problema principal permanece: a existência de inversos aditivos.
  • Para ser um anel, todo n\in\mathbb{N} precisaria ter um -n\in\mathbb{N} tal que n+(-n)=0.
  • Mas para, por exemplo, 1,2\in\mathbb{N} temos 1-2=-1 e -1\notin\mathbb{N}. Não existe o inverso aditivo de 1 (nem de 2, etc.) dentro de \mathbb{N}.
  • Se a convenção usada não inclui 0, aí falta também o elemento neutro aditivo. Em qualquer convenção razoável, \mathbb{N} falha numa das propriedades do grupo aditivo.
    Conclusão: \mathbb{N} não é um grupo abeliano para a adição (falta inversos aditivos), portanto não é um anel.

Passo 6

Resumo final do raciocínio: \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} e \mathbb{C} satisfazem as propriedades de anel. \mathbb{N} não satisfaz porque não contém os inversos aditivos (por exemplo, não contém -1 que seria o inverso de 1). Então a opção que NÃO é anel é a das naturais.

Resposta

c

Exercícios relacionados