Qual dos conjuntos numéricos a seguir não é um exemplo de anel?
◯ a. O conjunto dos números racionais.
◯ b. O conjunto dos números inteiros.
◯ c. O conjunto dos números naturais.
◯ d. O conjunto dos números reais.
◯ e. O conjunto dos números complexos.
◯ a. O conjunto dos números racionais.
◯ b. O conjunto dos números inteiros.
◯ c. O conjunto dos números naturais.
◯ d. O conjunto dos números reais.
◯ e. O conjunto dos números complexos.
Passo 1
O enunciado pergunta qual dos conjuntos numéricos listados NÃO é um exemplo de anel. As opções são:
- (a) o conjunto dos números racionais
; - (b) o conjunto dos números inteiros
; - (c) o conjunto dos números naturais
; - (d) o conjunto dos números reais
; - (e) o conjunto dos números complexos
.
O que se pede: identificar, entre essas cinco opções, qual conjunto NÃO satisfaz a definição de anel.
Passo 2
O que é um anel? Vou explicar direitinho, devagarinho, sem pular etapas.
Um conjunto
equipado com duas operações (adição e multiplicação) é um anel se, com respeito a essas operações, valem as seguintes propriedades básicas:
- (Grupo aditivo)
é um grupo abeliano. Isso significa: - Fechamento: se
então . - Elemento neutro aditivo: existe
tal que para todo . - Inverso aditivo: para todo
existe tal que . - Associatividade e comutatividade da adição (essas são naturais para os conjuntos numéricos).
- Fechamento: se
- (Multiplicação) A multiplicação é associativa: para todo
, . - (Distributividade) A multiplicação distribui sobre a adição: para todo
,
e .
Observações úteis e comuns:
- Alguns textos exigem também que exista elemento unidade multiplicativa
com para todo . Outros não exigem isso; mas isso não afeta a questão aqui porque todos os candidatos exceto têm unidade. - O ponto crucial que normalmente falha para
é a exigência do inverso aditivo: cada elemento precisa ter seu oposto dentro do conjunto.
Passo 3
Verificando
(inteiros):
-
é fechado em soma e produto. - O elemento
pertence a . - Para todo
existe . - Multiplicação é associativa e distribuiva sobre a soma.
Portantosatisfaz todas as condições e é um anel (na verdade, um domínio íntegro).
Passo 4
Verificando
,
e
:
- Cada um desses conjuntos é fechado sob adição e multiplicação.
- Cada um contém
e, para todo elemento existe no próprio conjunto. - As propriedades de associatividade e distributividade valem.
- Além disso, são campos (ou seja, têm inversos multiplicativos para todos os elementos não nulos), o que é uma condição mais forte que ser anel.
Logo, e são exemplos de anéis (na verdade, são corpos/fields).
Passo 5
Verificando
(naturais):
- Dependendo da convenção,
pode ser ou . Mesmo se incluirmos , o problema principal permanece: a existência de inversos aditivos. - Para ser um anel, todo
precisaria ter um tal que . - Mas para, por exemplo,
temos e . Não existe o inverso aditivo de (nem de , etc.) dentro de . - Se a convenção usada não inclui
, aí falta também o elemento neutro aditivo. Em qualquer convenção razoável, falha numa das propriedades do grupo aditivo.
Conclusão:não é um grupo abeliano para a adição (falta inversos aditivos), portanto não é um anel.
Passo 6
Resumo final do raciocínio:
,
,
e
satisfazem as propriedades de anel.
não satisfaz porque não contém os inversos aditivos (por exemplo, não contém
que seria o inverso de
). Então a opção que NÃO é anel é a das naturais.
Resposta
c