(20 pontos) Faça o que se pede:
(a) (15 pontos) Calcule \frac{d y}{d x} na equação implícita:
x^{3} y+\cos y+3 x^{2}=4
(b) ( 5 pontos) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da curva acima no ponto P=(1,0).
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
x^{3}y+\cos y+3x^{2}=4,
e pede duas coisas:
(a) Calcular \dfrac{dy}{dx} (a derivada implícita y') em termos de x e y.
(b) Determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico dessa curva no ponto P=(1,0).
Informações relevantes fornecidas: a relação entre x e y dada pela equação acima e o ponto específico P=(1,0) para o item (b). A resolução real começa agora.
Passo 2
Vamos lembrar duas regras de diferenciação que vamos usar (explicadas com calma):
Regra do produto: se u=u(x) e v=v(x) são funções de x, então
\frac{d}{dx}\big(u\cdot v\big)=u'\,v+u\,v'.
Aqui u' significa \dfrac{du}{dx} e v' significa \dfrac{dv}{dx}.
Regra da cadeia: se g=g(u) e u=u(x), então
\frac{d}{dx}g\big(u(x)\big)=g'(u(x))\cdot u'(x).
No nosso caso, g será \cos(\cdot) ou \sin(\cdot) aplicado a y(x), então quando derivarmos \cos y teremos -\sin y vezes y'.
Também é útil lembrar que a derivada de uma constante é zero: \dfrac{d}{dx}(4)=0.
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados da equação em relação a x. Partimos de
x^{3}y+\cos y+3x^{2}=4.
Derivando termo a termo:
Para x^{3}y aplicamos a regra do produto com u=x^{3} e v=y(x). Assim
\frac{d}{dx}\big(x^{3}y\big)=\frac{d}{dx}(x^{3})\cdot y + x^{3}\cdot\frac{dy}{dx}=3x^{2}y + x^{3}y'.
Para \cos y aplicamos a regra da cadeia: derivada de \cos é -\sin, multiplicando por y':
\frac{d}{dx}(\cos y)= -\sin y \cdot y'.
Para 3x^{2} a derivada é direta:
\frac{d}{dx}(3x^{2})=6x.
E \dfrac{d}{dx}(4)=0.
Somando tudo, obtemos a equação (já derivada):
3x^{2}y + x^{3}y' -\sin y \cdot y' + 6x = 0.
Passo 4
Agora isolamos os termos que contêm y' para resolver para y'. Reagrupando:
(x^{3}-\sin y)\,y' + 3x^{2}y + 6x = 0.
Passamos 3x^{2}y+6x para o outro lado:
(x^{3}-\sin y)\,y' = -\big(3x^{2}y+6x\big).
Se x^{3}-\sin y\neq 0 (caso em que a derivada existe e é finita), dividimos e obtemos:
Podemos também fatorar o numerador para uma forma levemente mais compacta:
y' = -\,\frac{3x\big(xy+2\big)}{x^{3}-\sin y},
mas ambas as formas são equivalentes. Essa é a expressão geral de \dfrac{dy}{dx}.
Passo 5
Agora resolvemos o item (b): determinar o coeficiente angular da reta tangente no ponto P=(1,0). Isso significa avaliar y' em x=1 e y=0. Substituímos na fórmula encontrada:
Breve comentário final e incentivo: a técnica principal aqui foi a diferenciação implícita, que combina produto e cadeia. Na prova, ao ver uma equação que mistura x e y, derive ambos os lados em relação a x, trate y como função de x (colocando y' onde aparecer a derivada de y), agrupe os termos com y' e isole y'. Se aparecer um ponto para avaliar, simplesmente substitua os valores na expressão final.