Faça o que se pede:
Determine f^{\prime}(0) se f(x)=\sin (3 x) e^{x}+\left(5 x^{2}+x\right)^{10}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sin(3x)\,e^{x}+\bigl(5x^{2}+x\bigr)^{10}
e pede para determinar f'(0), isto é, a derivada de f avaliada em x=0.
Informações relevantes retiradas do enunciado:
  • A função é soma de dois termos: um produto \sin(3x)\,e^{x} e uma potência composta \bigl(5x^{2}+x\bigr)^{10}.
  • O objetivo é calcular \,f'(0)\,, ou seja a derivada de f no ponto x=0.

Passo 2

Derivada do primeiro termo usando a regra do produto.
Lembrete da regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui escolhemos
u(x)=\sin(3x),\qquad v(x)=e^{x}.
Calculamos u'(x) e v'(x).
Regra para derivada de \sin(bx): se u(x)=\sin(bx) então u'(x)=b\cos(bx). Aplicando com b=3,
u'(x)=3\cos(3x).
Derivada de e^{x} é ele próprio:
v'(x)=e^{x}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(3x)\,e^{x}\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=3\cos(3x)\,e^{x}+\sin(3x)\,e^{x}.
Podemos factorar e^{x} se quisermos:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(3x)\,e^{x}\bigr)=e^{x}\bigl(3\cos(3x)+\sin(3x)\bigr).

Passo 3

Derivada do segundo termo usando a regra da cadeia.
Lembrete da regra da cadeia para potências: se h(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{n} com n constante então
h'(x)=n\,\bigl(g(x)\bigr)^{\,n-1}\,g'(x).
Aqui temos g(x)=5x^{2}+x e n=10. Calculamos g'(x):
g'(x)=\frac{d}{dx}(5x^{2}+x)=10x+1.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}+x\bigr)^{10}=10\bigl(5x^{2}+x\bigr)^{9}\,(10x+1).

Passo 4

Somando as derivadas dos dois termos, obtemos a derivada de f:
f'(x)=e^{x}\bigl(3\cos(3x)+\sin(3x)\bigr)+10\bigl(5x^{2}+x\bigr)^{9}\,(10x+1).

Passo 5

Agora avaliamos em x=0 para obter f'(0).
Calcule cada parcela em x=0.
Primeira parcela:
e^{0}\bigl(3\cos(0)+\sin(0)\bigr)=1\bigl(3\cdot 1+0\bigr)=3.
Segunda parcela:
10\bigl(5\cdot 0^{2}+0\bigr)^{9}\,(10\cdot 0+1)=10\cdot 0^{9}\cdot 1=10\cdot 0\cdot 1=0.
Somando as parcelas:
f'(0)=3+0=3.

Resposta

3

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