(45 pontos) Considere a função
.
(a) (5 pontos) Determine o domínio da função e encontre os pontos de interseção com os eixos
e
, caso existam.
(b) ( 8 pontos) Determine as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
(c) (7 pontos) Verifique que
.
(d) (2 pontos) Determine o(s) número(s) crítico(s) de
.
(e) (6 pontos) Determine os intervalos onde a função é crescente e os intervalos onde a função é decrescente.
(f) (3 pontos) Determine
extremo(s) relativo(s) e identifique-o(s) (máximo ou mínimo?).
(g) (7 pontos) Usando o fato que
, determine o ponto de inflexão e encontre os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima e os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para baixo.
(h) ( 7 pontos) Faça um esboço do gráfico da função e determine a imagem da função.
(a) (5 pontos) Determine o domínio da função e encontre os pontos de interseção com os eixos
(b) ( 8 pontos) Determine as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
(c) (7 pontos) Verifique que
(d) (2 pontos) Determine o(s) número(s) crítico(s) de
(e) (6 pontos) Determine os intervalos onde a função é crescente e os intervalos onde a função é decrescente.
(f) (3 pontos) Determine
(g) (7 pontos) Usando o fato que
(h) ( 7 pontos) Faça um esboço do gráfico da função e determine a imagem da função.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede (tudo retirado do enunciado).
- Função dada:
. - O enunciado pede, em partes:
(a) domínio e interseções com os eixose ;
(b) assíntotas horizontais e verticais;
(c) verificar que;
(d) números críticos de;
(e) intervalos de crescimento e decrescimento;
(f) extremos relativos e classificação (máximo/minimo);
(g) usando: ponto de inflexão e intervalos de concavidade para cima/baixo;
(h) esboço do gráfico e determinação da imagem (intervalo de valores de).
Passo 2
Domínio e interseções com os eixos — primeiro passo prático e ideia básica.
- Regra prática para domínio: qualquer expressão com denominador exige que esse denominador não seja zero. Aqui o denominador é
, então devemos ter , isto é , logo . - Conclusão domínio: o domínio é
.
Interseção com o eixo
(valor em
):
- Calcular
. - Assim a interseção com o eixo
é o ponto .
Interseção(s) com o eixo
(onde
):
- Zerar a função:
ocorre quando o numerador é zero (e o denominador não), ou seja . - Verificar
está no domínio (sim, ). Então interseção com o eixo é .
Passo 3
Assíntotas verticais e horizontais — teoria rápida e aplicação.
-
Assíntota vertical: aparece quando no domínio a função tende a
ao aproximar-se de algum ponto que não pertence ao domínio. Aqui não pertence ao domínio; analisar o limite . - Avaliar o numerador em
: (valor finito diferente de zero). - O denominador
(porque quadrado é sempre não negativo). Logo . Como o numerador é (negativo), o quociente tende para tanto pela direita quanto pela esquerda. - Conclusão: existe assíntota vertical
. Mais: .
- Avaliar o numerador em
-
Assíntota horizontal: analisar limites quando
. Uma regra prática: se o grau do numerador for menor que o do denominador, a assíntota horizontal é . - Aqui grau do numerador é
e do denominador é , portanto . - Conclusão: existe assíntota horizontal
. Observação: quando , e quando , (pela aproximação para grande).
- Aqui grau do numerador é
Passo 4
Verificação de
usando a regra do quociente — vamos provar passo a passo (a regra do quociente é uma ferramenta padrão: se
então
).
- Identificar
e . - Calcular derivadas:
-
. -
(regra da cadeia: derivada de é ).
-
- Aplicar a regra do quociente:
- Vamos fatorar
no numerador para simplificar: Calcular o que está entre colchetes: Assim numerador . - Colocando isso sobre o denominador
temos pois podemos simplificar um fator de cima e de baixo (lembrando que isso é válido para , que é o domínio). Isso confirma a expressão fornecida.
Passo 5
Números críticos — definição e aplicação.
- Definição prática: números críticos são pontos do domínio onde
ou não existe. Porém se não existe por causa de fora do domínio, esse não conta. - Temos
. - Zerar o numerador:
. Isso pertence ao domínio ( ), logo é número crítico. - A derivada é indefinida em
(denominador zero), porém não está no domínio, então não é número crítico. - Conclusão: o único número crítico é
. O ponto correspondente no plano é com , ou seja o ponto .
Passo 6
Intervalos de crescimento e decrescimento — análise do sinal de
.
- Reescrever
de forma factorizada: . - Observação sobre sinais:
- O fator
é sempre negativo. - O fator
muda de sinal em . - O fator
tem o mesmo sinal que (paridade ímpar).
- O fator
- Assim o sinal de
é o sinal de mais precisamente: - Dividir a linha real pelos pontos críticos e pela assíntota vertical em intervalos:
. Testar um ponto em cada intervalo: - Em
: . Logo em ⇒ função decrescente aí. - Em
: . Logo em ⇒ função crescente aí. - Em
: . Logo em ⇒ função decrescente aí.
- Em
Resumo:
-
é decrescente em . -
é crescente em . -
é decrescente em .
Passo 7
Extremos relativos — usar mudança de sinal de
.
- Observação do passo anterior: em
a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita). Isso caracteriza um máximo relativo em . - Valor no extremo:
(já calculado). - Não há mínimo relativo (não existe ponto onde
muda de negativo para positivo dentro do domínio). - Conclusão: existe um único extremo relativo: máximo relativo em
.
Passo 8
Concavidade e ponto de inflexão usando
— teoria curta e aplicação.
- Regra prática: pontos de inflexão ocorrem onde
ou muda de sinal (e está no domínio). - Aqui o denominador
é sempre positivo para , porque é potência par. Assim o sinal de é o sinal do numerador . - Resolver
. Este pertence ao domínio, logo candidato a ponto de inflexão. - Verificar mudança de sinal:
- Para
temos (côncavo para baixo). - Para
temos (côncavo para cima).
- Para
- Valor da função no ponto de inflexão:
. - Conclusão:
- Ponto de inflexão em
. - Concavidade:
é côncava para baixo em e côncava para cima em . (Lembrar que fica excluído do domínio.)
- Ponto de inflexão em
Passo 9
Esboço qualitativo do gráfico e determinação da imagem (intervalo de valores de
).
- Reunir informações-chave para desenhar mentalmente (cada item já calculado):
- Domínio:
. - Interseções:
e . - Assíntotas: vertical
com ; horizontal com (chegando por cima para e por baixo para ). - Monotonicidade: decrescente em
, crescente em , decrescente em . - Extremo: máximo relativo global em
(é máximo global porque é maior que limites nas extremidades do domínio). - Concavidade: côncava para baixo até
(com salto em por causa da assíntota) e côncava para cima para ; ponto de inflexão em . - Comportamento nas infinites: aproxima-se de
por sinais opostos em cada infinito ( quando , quando ).
- Domínio:
- Esboço verbal do gráfico (pontos-chave para desenhar sem erro):
- Para
a curva está levemente negativa e próxima de vindo de baixo; ela é decrescente até se aproximar de pela esquerda e aí desce para (assíntota vertical). - Para
pouco maior que a função vem de e sobe (é crescente em ), cruza o eixo em , atinge o máximo em , depois decresce para o valor assintótico quando . A concavidade muda em (passa de côncava para baixo para côncava para cima).
- Para
- Determinar a imagem (range)
: - Pelo comportamento: existe um máximo
. Não existe menor limite finito porque , então os valores vão até . - Além disso, por continuidade em cada ramo e pelo fato que em
a função cresce de até e em decresce de até , e no ramo vai de até , todos os valores menores ou iguais a são atingidos. - Conclusão: a imagem é
.
- Pelo comportamento: existe um máximo
Resposta
(a) Domínio:
. Interseção com o eixo
:
. Interseção com o eixo
:
.
(b) Assíntota vertical: (com
). Assíntota horizontal:
(com
).
(c) (verificado).
(d) Números críticos: (único).
(e) Crescente em . Decrescente em
e em
.
(f) Extremo relativo: máximo relativo (e global) em . Não há mínimo relativo.
(g) Ponto de inflexão: . Concavidade: côncava para baixo em
; côncava para cima em
.
(h) Esboço: curva com assíntota vertical (tendendo a
dos dois lados), assíntota horizontal
, interceptos
e
, máximo em
, inflexão em
. Imagem:
.
(b) Assíntota vertical:
(c)
(d) Números críticos:
(e) Crescente em
(f) Extremo relativo: máximo relativo (e global) em
(g) Ponto de inflexão:
(h) Esboço: curva com assíntota vertical