(45 pontos) Considere a função f(x)=\frac{4 x-12}{(x-2)^{2}}.
(a) (5 pontos) Determine o domínio da função e encontre os pontos de interseção com os eixos x e y, caso existam.
(b) ( 8 pontos) Determine as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
(c) (7 pontos) Verifique que f^{\prime}(x)=\frac{-4 x+16}{(x-2)^{3}}.
(d) (2 pontos) Determine o(s) número(s) crítico(s) de f.
(e) (6 pontos) Determine os intervalos onde a função é crescente e os intervalos onde a função é decrescente.
(f) (3 pontos) Determine \mathrm{o}(\mathrm{s}) extremo(s) relativo(s) e identifique-o(s) (máximo ou mínimo?).
(g) (7 pontos) Usando o fato que f^{\prime \prime}(x)=\frac{8 x-40}{(x-2)^{4}}, determine o ponto de inflexão e encontre os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima e os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para baixo.
(h) ( 7 pontos) Faça um esboço do gráfico da função e determine a imagem da função.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede (tudo retirado do enunciado).
  • Função dada: f(x)=\dfrac{4x-12}{(x-2)^{2}}.
  • O enunciado pede, em partes:
    (a) domínio e interseções com os eixos x e y;
    (b) assíntotas horizontais e verticais;
    (c) verificar que f'(x)=\dfrac{-4x+16}{(x-2)^{3}};
    (d) números críticos de f;
    (e) intervalos de crescimento e decrescimento;
    (f) extremos relativos e classificação (máximo/minimo);
    (g) usando f''(x)=\dfrac{8x-40}{(x-2)^{4}}: ponto de inflexão e intervalos de concavidade para cima/baixo;
    (h) esboço do gráfico e determinação da imagem (intervalo de valores de f).

Passo 2

Domínio e interseções com os eixos — primeiro passo prático e ideia básica.
  • Regra prática para domínio: qualquer expressão com denominador exige que esse denominador não seja zero. Aqui o denominador é (x-2)^{2}, então devemos ter (x-2)^{2}\neq0, isto é x-2\neq0, logo x\neq2.
  • Conclusão domínio: o domínio é \mathbb{R}\setminus\{2\}.
Interseção com o eixo y (valor em x=0):
  • Calcular f(0)=\dfrac{4\cdot0-12}{(0-2)^{2}}=\dfrac{-12}{4}=-3.
  • Assim a interseção com o eixo y é o ponto (0,-3).
Interseção(s) com o eixo x (onde f(x)=0):
  • Zerar a função: \dfrac{4x-12}{(x-2)^{2}}=0 ocorre quando o numerador é zero (e o denominador não), ou seja 4x-12=0\Rightarrow x=3.
  • Verificar x=3 está no domínio (sim, 3\neq2). Então interseção com o eixo x é (3,0).

Passo 3

Assíntotas verticais e horizontais — teoria rápida e aplicação.
  • Assíntota vertical: aparece quando no domínio a função tende a \pm\infty ao aproximar-se de algum ponto que não pertence ao domínio. Aqui x=2 não pertence ao domínio; analisar o limite \lim_{x\to2} f(x).
    • Avaliar o numerador em x\to2: 4x-12\to4\cdot2-12=-4 (valor finito diferente de zero).
    • O denominador (x-2)^{2}\to0^{+} (porque quadrado é sempre não negativo). Logo \dfrac{\text{constante não nula}}{\text{pequeno positivo}}\to\pm\inftyã. Como o numerador é -4 (negativo), o quociente tende para -\infty tanto pela direita quanto pela esquerda.
    • Conclusão: existe assíntota vertical x=2. Mais: \displaystyle\lim_{x\to2^\pm}f(x)=-\infty.
  • Assíntota horizontal: analisar limites quando x\to\pm\infty. Uma regra prática: se o grau do numerador for menor que o do denominador, a assíntota horizontal é y=0.
    • Aqui grau do numerador é 1 e do denominador é 2, portanto \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=0.
    • Conclusão: existe assíntota horizontal y=0. Observação: quando x\to+\infty, f(x)\to0^{+} e quando x\to-\infty, f(x)\to0^{-} (pela aproximação f(x)\approx4/x para |x| grande).

Passo 4

Verificação de f'(x) usando a regra do quociente — vamos provar passo a passo (a regra do quociente é uma ferramenta padrão: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}).
  • Identificar u(x)=4x-12 e v(x)=(x-2)^{2}.
  • Calcular derivadas:
    • u'(x)=4.
    • v'(x)=2(x-2) (regra da cadeia: derivada de (x-2)^{2} é 2(x-2)\cdot 1).
  • Aplicar a regra do quociente: f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}} =\dfrac{4\,(x-2)^{2}-(4x-12)\cdot 2(x-2)}{(x-2)^{4}}.
  • Vamos fatorar (x-2) no numerador para simplificar: \text{numerador}= (x-2)\big[4(x-2)-2(4x-12)\big].Calcular o que está entre colchetes: 4(x-2)-2(4x-12)=4x-8-8x+24=(-4x+16).Assim numerador =(x-2)(-4x+16).
  • Colocando isso sobre o denominador (x-2)^{4} temos f'(x)=\dfrac{(x-2)(-4x+16)}{(x-2)^{4}}=\dfrac{-4x+16}{(x-2)^{3}},pois podemos simplificar um fator (x-2) de cima e de baixo (lembrando que isso é válido para x\neq2, que é o domínio). Isso confirma a expressão fornecida.

Passo 5

Números críticos — definição e aplicação.
  • Definição prática: números críticos são pontos do domínio onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe. Porém se f'(x) não existe por causa de x fora do domínio, esse x não conta.
  • Temos f'(x)=\dfrac{-4x+16}{(x-2)^{3}}.
  • Zerar o numerador: -4x+16=0\Rightarrow x=4. Isso pertence ao domínio ( 4\neq2), logo é número crítico.
  • A derivada é indefinida em x=2 (denominador zero), porém x=2 não está no domínio, então não é número crítico.
  • Conclusão: o único número crítico é x=4. O ponto correspondente no plano é \bigl(4,f(4)\bigr) com f(4)=\dfrac{4\cdot4-12}{(4-2)^{2}}=\dfrac{4}{4}=1, ou seja o ponto (4,1).

Passo 6

Intervalos de crescimento e decrescimento — análise do sinal de f'(x).
  • Reescrever f'(x) de forma factorizada: f'(x)=\dfrac{-4(x-4)}{(x-2)^{3}}.
  • Observação sobre sinais:
    • O fator -4 é sempre negativo.
    • O fator (x-4) muda de sinal em x=4.
    • O fator (x-2)^{3} tem o mesmo sinal que x-2 (paridade ímpar).
  • Assim o sinal de f'(x) é o sinal de -1\cdot (x-4)\cdot (x-2)^{-?} mais precisamente: \operatorname{sgn} f'(x) = -\,\operatorname{sgn}(x-4)\cdot\operatorname{sgn}(x-2).
  • Dividir a linha real pelos pontos críticos e pela assíntota vertical em intervalos: (-\infty,2),\\ (2,4),\\ (4,\infty). Testar um ponto em cada intervalo:
    • Em x=0\in(-\infty,2): \operatorname{sgn}f'(0) = -\operatorname{sgn}(-4)\cdot\operatorname{sgn}(-2) = -(-1)\cdot(-1) = -1. Logo f'<0 em (-\infty,2) ⇒ função decrescente aí.
    • Em x=3\in(2,4): \operatorname{sgn}f'(3) = -\operatorname{sgn}(-1)\cdot\operatorname{sgn}(1) = -(-1)\cdot 1 = +1. Logo f'>0 em (2,4) ⇒ função crescente aí.
    • Em x=5\in(4,\infty): \operatorname{sgn}f'(5) = -\operatorname{sgn}(1)\cdot\operatorname{sgn}(3) = -1. Logo f'<0 em (4,\infty) ⇒ função decrescente aí.
Resumo:
  • f é decrescente em (-\infty,2).
  • f é crescente em (2,4).
  • f é decrescente em (4,\infty).

Passo 7

Extremos relativos — usar mudança de sinal de f'.
  • Observação do passo anterior: em x=4 a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita). Isso caracteriza um máximo relativo em x=4.
  • Valor no extremo: f(4)=1 (já calculado).
  • Não há mínimo relativo (não existe ponto onde f' muda de negativo para positivo dentro do domínio).
  • Conclusão: existe um único extremo relativo: máximo relativo em \bigl(4,1\bigr).

Passo 8

Concavidade e ponto de inflexão usando f''(x)=\dfrac{8x-40}{(x-2)^{4}} — teoria curta e aplicação.
  • Regra prática: pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0 ou f''(x) muda de sinal (e x está no domínio).
  • Aqui o denominador (x-2)^{4} é sempre positivo para x\neq2, porque é potência par. Assim o sinal de f''(x) é o sinal do numerador 8x-40.
  • Resolver 8x-40=0\Rightarrow x=5. Este x pertence ao domínio, logo candidato a ponto de inflexão.
  • Verificar mudança de sinal:
    • Para x<5 temos 8x-40<0\Rightarrow f''(x)<0 (côncavo para baixo).
    • Para x>5 temos 8x-40>0\Rightarrow f''(x)>0 (côncavo para cima).
  • Valor da função no ponto de inflexão: f(5)=\dfrac{4\cdot5-12}{(5-2)^{2}}=\dfrac{20-12}{9}=\dfrac{8}{9}.
  • Conclusão:
    • Ponto de inflexão em \bigl(5,\tfrac{8}{9}\bigr).
    • Concavidade: f é côncava para baixo em (-\infty,2)\cup(2,5) e côncava para cima em (5,\infty). (Lembrar que x=2 fica excluído do domínio.)

Passo 9

Esboço qualitativo do gráfico e determinação da imagem (intervalo de valores de f).
  • Reunir informações-chave para desenhar mentalmente (cada item já calculado):
    • Domínio: \mathbb{R}\setminus\{2\}.
    • Interseções: (0,-3) e (3,0).
    • Assíntotas: vertical x=2 com \lim_{x\to2^\pm}f(x)=-\infty; horizontal y=0 com \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 (chegando por cima para +\infty e por baixo para -\infty).
    • Monotonicidade: decrescente em (-\infty,2), crescente em (2,4), decrescente em (4,\infty).
    • Extremo: máximo relativo global em (4,1) (é máximo global porque é maior que limites nas extremidades do domínio).
    • Concavidade: côncava para baixo até x=5 (com salto em x=2 por causa da assíntota) e côncava para cima para x>5; ponto de inflexão em \bigl(5,\tfrac{8}{9}\bigr).
    • Comportamento nas infinites: aproxima-se de y=0 por sinais opostos em cada infinito ( 0^{+} quando x\to+\infty, 0^{-} quando x\to-\infty).
  • Esboço verbal do gráfico (pontos-chave para desenhar sem erro):
    • Para x\ll0 a curva está levemente negativa e próxima de y=0 vindo de baixo; ela é decrescente até se aproximar de x=2 pela esquerda e aí desce para -\infty (assíntota vertical).
    • Para x pouco maior que 2 a função vem de -\infty e sobe (é crescente em (2,4)), cruza o eixo x em x=3, atinge o máximo em (4,1), depois decresce para o valor assintótico 0^{+} quando x\to+\infty. A concavidade muda em x=5 (passa de côncava para baixo para côncava para cima).
  • Determinar a imagem (range) \operatorname{Im} f:
    • Pelo comportamento: existe um máximo f(4)=1. Não existe menor limite finito porque \lim_{x\to2^\pm}f(x)=-\infty, então os valores vão até -\infty.
    • Além disso, por continuidade em cada ramo e pelo fato que em (2,4) a função cresce de -\infty até 1 e em (4,\infty) decresce de 1 até 0^{+}, e no ramo (-\infty,2) vai de 0^{-} até -\infty, todos os valores menores ou iguais a 1 são atingidos.
    • Conclusão: a imagem é \left(-\infty,1\right].

Resposta

(a) Domínio: \mathbb{R}\setminus\{2\}. Interseção com o eixo y: (0,-3). Interseção com o eixo x: (3,0).
(b) Assíntota vertical: x=2 (com \lim_{x\to2^\pm}f(x)=-\infty). Assíntota horizontal: y=0 (com \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0).
(c) f'(x)=\dfrac{-4x+16}{(x-2)^{3}} (verificado).
(d) Números críticos: x=4 (único).
(e) Crescente em (2,4). Decrescente em (-\infty,2) e em (4,\infty).
(f) Extremo relativo: máximo relativo (e global) em \bigl(4,1\bigr). Não há mínimo relativo.
(g) Ponto de inflexão: \bigl(5,\tfrac{8}{9}\bigr). Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,2)\cup(2,5); côncava para cima em (5,\infty).
(h) Esboço: curva com assíntota vertical x=2 (tendendo a -\infty dos dois lados), assíntota horizontal y=0, interceptos (0,-3) e (3,0), máximo em (4,1), inflexão em \bigl(5,\tfrac{8}{9}\bigr). Imagem: \left(-\infty,1\right].

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