(20 Pontos) Mostre que se a sequência ( a_{n} ) não converge ou a_{n} \nrightarrow 0, então a série \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} é divergente.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência (a_{n}) e a série \sum_{k=0}^{\infty} a_{k}.
Pede-se para mostrar que, se a sequência (a_{n}) não converge ou se \;a_{n}\nrightarrow 0\;, então a série \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} é divergente.
Informações relevantes que temos do enunciado: \;(a_{n}) é uma sequência qualquer de números reais (ou complexos) e a série é a soma dos termos dessa sequência indexada por k desde 0.

Passo 2

Definamos os somatórios parciais da série: seja \;S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}\; o n-ésimo somatório parcial.
Por definição, a série \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} converge se, e somente se, a sequência (S_{n}) de somatórios parciais convergir para algum número finito S. Ou seja,
\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}\\ \text{converge} \quad\Longleftrightarrow\quad S_{n}\to S\\ \text{quando}\\ n\to\infty.
Expliquei isso porque a noção de convergência da série é feita via convergência dos somatórios parciais.

Passo 3

Notamos a identidade simples (válida para todo n\ge 1):
a_{n}=S_{n}-S_{n-1}.
Isto é óbvio: o somatório até n menos o somatório até n-1 deixa apenas o termo a_{n}. Essa relação vai ser a chave para ligar o comportamento dos termos a_{n} ao comportamento dos somatórios S_{n}.

Passo 4

Mostremos que se a série converge então os termos a_{n} tendem a 0. Suponha que \;S_{n}\to S quando n\to\infty. Então, como deslocar índices não altera o limite, também temos \;S_{n-1}\to S. Pela identidade do passo anterior,
a_{n}=S_{n}-S_{n-1}.
Agora usemos uma demonstração \varepsilon-formal, porque é pedagógico e fácil de aplicar numa prova de exame: dado \varepsilon>0, como S_{n}\to S existe N tal que para todo m\ge N vale |S_{m}-S|<\varepsilon/2. Então para todo n\ge N+1 temos tanto |S_{n}-S|<\varepsilon/2 quanto |S_{n-1}-S|<\varepsilon/2. Assim, para n\ge N+1,
|a_{n}|=|S_{n}-S_{n-1}|\le |S_{n}-S|+|S_{n-1}-S|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Isso mostra que |a_{n}|\to 0, logo a_{n}\to 0. Conclusão: convergência da série implica necessariamente a_{n}\to 0.

Passo 5

Façamos a contrapartida lógica (contrapositiva): se não acontece que a_{n}\to 0 (ou seja, se \;a_{n}\nrightarrow 0\;), então não pode acontecer que a série converge. Em outras palavras, se a_{n}\nrightarrow 0 então \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} diverge. É exatamente o que queríamos demonstrar.

Passo 6

Tratemos também do caso “a sequência não converge”. Se (a_{n}) não converge, isso significa que ela não tem limite. Em particular ela não tem limite igual a 0, isto é, \;a_{n}\nrightarrow 0. Portanto o caso “ (a_{n}) não converge” é um subcaso do caso já tratado e também implica que a série diverge. Assim cobrimos tanto “não converge” quanto “não tende a zero”.

Passo 7

Observação pedagógica final (útil para a prova): este resultado dá uma condição necessária, mas não suficiente, para a convergência de séries. Ou seja, a_{n}\to 0 é necessário para que \sum a_{n} converja, mas não garante convergência. Exemplo rápido para fixar: em \;a_{n}=1/n\; temos a_{n}\to 0 mas a série harmônica \sum 1/n diverge. Já se a_{n}=1 então a_{n}\nrightarrow 0 e a série \sum 1 claramente diverge — este último é o tipo de situação coberta diretamente pelo enunciado.

Resposta

A série \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} é divergente.

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