(20 Pontos) Mostre que se a sequência (
) não converge ou
, então a série
é divergente.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência
e a série
.
Pede-se para mostrar que, se a sequência
não converge ou se
, então a série
é divergente.
Informações relevantes que temos do enunciado:
é uma sequência qualquer de números reais (ou complexos) e a série é a soma dos termos dessa sequência indexada por
desde
.
Passo 2
Definamos os somatórios parciais da série: seja
o
-ésimo somatório parcial.
Por definição, a série converge se, e somente se, a sequência
de somatórios parciais convergir para algum número finito
. Ou seja,
Por definição, a série
Expliquei isso porque a noção de convergência da série é feita via convergência dos somatórios parciais.
Passo 3
Notamos a identidade simples (válida para todo
):
Isto é óbvio: o somatório até
menos o somatório até
deixa apenas o termo
. Essa relação vai ser a chave para ligar o comportamento dos termos
ao comportamento dos somatórios
.
Passo 4
Mostremos que se a série converge então os termos
tendem a
. Suponha que
quando
. Então, como deslocar índices não altera o limite, também temos
. Pela identidade do passo anterior,
Agora usemos uma demonstração
-formal, porque é pedagógico e fácil de aplicar numa prova de exame: dado
, como
existe
tal que para todo
vale
. Então para todo
temos tanto
quanto
. Assim, para
,
Isso mostra que
, logo
. Conclusão: convergência da série implica necessariamente
.
Passo 5
Façamos a contrapartida lógica (contrapositiva): se não acontece que
(ou seja, se
), então não pode acontecer que a série converge. Em outras palavras, se
então
diverge. É exatamente o que queríamos demonstrar.
Passo 6
Tratemos também do caso “a sequência não converge”. Se
não converge, isso significa que ela não tem limite. Em particular ela não tem limite igual a
, isto é,
. Portanto o caso “
não converge” é um subcaso do caso já tratado e também implica que a série diverge. Assim cobrimos tanto “não converge” quanto “não tende a zero”.
Passo 7
Observação pedagógica final (útil para a prova): este resultado dá uma condição necessária, mas não suficiente, para a convergência de séries. Ou seja,
é necessário para que
converja, mas não garante convergência. Exemplo rápido para fixar: em
temos
mas a série harmônica
diverge. Já se
então
e a série
claramente diverge — este último é o tipo de situação coberta diretamente pelo enunciado.
Resposta
A série
é divergente.