Quais das seguintes desigualdades podem ou não ser usadas para mostrar que a série \sum_{n} \frac{n}{n^{3}+1} é convergente? Não esqueça de justificar.
\frac{n}{n^{3}+1} \leq \frac{1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+1} e pergunta se a desigualdade
\frac{n}{n^{3}+1} \leq \frac{1}{n^{2}}
pode (ou não) ser usada para mostrar que essa série é convergente. Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é a_n=\frac{n}{n^{3}+1}.
  • A desigualdade proposta é a_n \le b_n com b_n=\frac{1}{n^{2}}.
  • Presumimos n inteiro positivo (isto é, n\ge 1).

Passo 2

Verificar se a desigualdade é verdadeira para n\ge 1. Raciocínio elementar: para n\ge 1 temos
n^{3}+1 \ge n^{3}.
Como n>0, ao dividir n por ambos os denominadores positivos obtemos
\frac{n}{n^{3}+1} \le \frac{n}{n^{3}}.
Simplificando o lado direito,
\frac{n}{n^{3}}=\frac{1}{n^{2}}.
Portanto, a desigualdade proposta
\frac{n}{n^{3}+1} \le \frac{1}{n^{2}}
é verdadeira para todo n\ge 1. (Exemplo numérico: para n=1 temos 1/2 \le 1, que é verdade.)

Passo 3

Explicar o teste de comparação direta (ferramenta que usaremos). O teste diz o seguinte:
\text{Se }0\le a_n\le b_n\text{ para todo }n\text{ a partir de algum índice, e }\sum b_n\text{ converge, então }\sum a_n\text{ converge.}íã
Aqui a_n e b_n são os termos positivos das séries envolvidas. A ideia é simples: se cada a_n é menor ou igual a um termo b_n de uma série que tem soma finita, então somar muitos a_n não pode dar infinito — é no máximo a soma dos b_n. Este é um teste padrão e muito usado em provas.

Passo 4

Identificar a série comparadora b_n=\frac{1}{n^{2}}. Conhecimento importante (p-series):
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Neste caso temos p=2>1, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é convergente. Assim temos uma série convergente \sum b_n e, do Passo 2, 0\le a_n\le b_n para todo n\ge 1.

Passo 5

Aplicando o teste de comparação direta do Passo 3 com a_n=\frac{n}{n^{3}+1} e b_n=\frac{1}{n^{2}}, concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{3}+1}
converge, porque é limitada termo a termo por uma série p com p=2 que converge.

Resposta

Sim. A desigualdade \displaystyle \frac{n}{n^{3}+1}\le\frac{1}{n^{2}} é verdadeira para todo n\ge1 e, como \sum \frac{1}{n^{2}} converge (p‑série com p=2), pelo teste de comparação direta a série \displaystyle \sum \frac{n}{n^{3}+1} converge.

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