Quais das seguintes desigualdades podem ou não ser usadas para mostrar que a série
é convergente? Não esqueça de justificar.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pergunta se a desigualdade
pode (ou não) ser usada para mostrar que essa série é convergente. Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral da série é
. - A desigualdade proposta é
com . - Presumimos
inteiro positivo (isto é, ).
Passo 2
Verificar se a desigualdade é verdadeira para
. Raciocínio elementar: para
temos
Como
, ao dividir
por ambos os denominadores positivos obtemos
Simplificando o lado direito,
Portanto, a desigualdade proposta
é verdadeira para todo
. (Exemplo numérico: para
temos
, que é verdade.)
Passo 3
Explicar o teste de comparação direta (ferramenta que usaremos). O teste diz o seguinte:
Aqui
e
são os termos positivos das séries envolvidas. A ideia é simples: se cada
é menor ou igual a um termo
de uma série que tem soma finita, então somar muitos
não pode dar infinito — é no máximo a soma dos
. Este é um teste padrão e muito usado em provas.
Passo 4
Identificar a série comparadora
. Conhecimento importante (p-series):
converge se, e somente se,
. Neste caso temos
, logo
é convergente. Assim temos uma série convergente
e, do Passo 2,
para todo
.
Passo 5
Aplicando o teste de comparação direta do Passo 3 com
e
, concluímos que a série
converge, porque é limitada termo a termo por uma série p com
que converge.
Resposta
Sim. A desigualdade
é verdadeira para todo
e, como
converge (p‑série com
), pelo teste de comparação direta a série
converge.