Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é pedido:
- A função a integrar é
. - Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma expressão
tal que , mais a constante de integração. - Não há limites de integração (é indefinida).
- Podemos usar propriedades básicas: linearidade da integral e o método de integração por partes.
Passo 2
Relembrando e explicando o método de integração por partes de forma didática:
- A fórmula da integração por partes é
- Aqui
e são partes que escolhemos dentro da integral; é a derivada de multiplicada por , e é uma primitiva de . - O significado de cada símbolo:
-
é uma função escolhida cuja derivada seja mais simples. -
é a parte restante do integrando que sabemos integrar para obter . -
. -
satisfaz , ou seja, é a antiderivada de .
-
- Estratégia comum: quando temos um produto de um polinômio por uma exponencial
, escolhemos o polinômio (porque derivando ele diminui o grau) e (porque integrar exponencial é simples). - Usaremos também a linearidade:
.
Passo 3
Aplicando linearidade, separamos a integral em três:
Definimos, para facilitar, a notação
assim a integral desejada é
Passo 4
Derivamos uma relação de recorrência usando integração por partes para
.
Escolhemos e
.
Escolhemos
- Então
. - E uma primitiva de
é .
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Ou seja, obtemos a relação de recorrência
Essa fórmula é muito útil: reduz o expoente
em
por aplicação.
Passo 5
Calculamos
(caso base), que precisaremos depois:
Usando a fórmula direta ou integração por partes simples com e
:
Usando a fórmula direta ou integração por partes simples com
E
. Portanto,
Fatorando
:
Passo 6
Calculamos
e
usando a recorrência.
Para :
Para
Substituindo
:
Para
:
Substituindo
:
Passo 7
Calculamos
e
pelo mesmo processo.
Para :
Para
Substituindo
:
Para
:
Substituindo
:
Portanto,
Passo 8
Agora combinamos os resultados para obter a integral original:
Substituímos as expressões já encontradas (todas têm fator
):
Assim
Fatorando
:
Passo 9
Calculamos o polinômio resultante
:
Primeiro :
Primeiro
Agora somamos
:
Portanto a integral vale
onde
é a constante de integração.