Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
\int\left(x^{5}-x^{3}+x\right) \mathrm{e}^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{5}-x^{3}+x\right) \mathrm{e}^{-x}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a integrar é f(x)=(x^{5}-x^{3}+x)\mathrm{e}^{-x}.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=f(x), mais a constante de integração.
  • Não há limites de integração (é indefinida).
  • Podemos usar propriedades básicas: linearidade da integral e o método de integração por partes.

Passo 2

Relembrando e explicando o método de integração por partes de forma didática:
  • A fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
  • Aqui u e dv são partes que escolhemos dentro da integral; du é a derivada de u multiplicada por dx, e v é uma primitiva de dv.
  • O significado de cada símbolo:
    • u=u(x) é uma função escolhida cuja derivada du seja mais simples.
    • dv é a parte restante do integrando que sabemos integrar para obter v.
    • du = u'(x)\,dx.
    • v satisfaz dv = v'(x)\,dx, ou seja, v é a antiderivada de dv.
  • Estratégia comum: quando temos um produto de um polinômio por uma exponencial \mathrm{e}^{ax}, escolhemos u o polinômio (porque derivando ele diminui o grau) e dv=\mathrm{e}^{ax}\,dx (porque integrar exponencial é simples).
  • Usaremos também a linearidade: \int (A+B+C)\,dx = \int A\,dx + \int B\,dx + \int C\,dx.

Passo 3

Aplicando linearidade, separamos a integral em três:
\int\left(x^{5}-x^{3}+x\right) \mathrm{e}^{-x}\,dx = \int x^{5}\mathrm{e}^{-x}\,dx - \int x^{3}\mathrm{e}^{-x}\,dx + \int x\,\mathrm{e}^{-x}\,dx.
Definimos, para facilitar, a notação
I_n=\int x^{n}\mathrm{e}^{-x}\,dx,
assim a integral desejada é
I_{5}-I_{3}+I_{1}.

Passo 4

Derivamos uma relação de recorrência usando integração por partes para I_n.
Escolhemos u=x^{n} e dv=\mathrm{e}^{-x}\,dx.
  • Então du = n x^{n-1}\,dx.
  • E uma primitiva de dv é v=\int \mathrm{e}^{-x}\,dx = -\mathrm{e}^{-x}.
    Aplicando a fórmula:
I_n=\int x^{n}\mathrm{e}^{-x}\,dx = u v - \int v\,du = -x^{n}\mathrm{e}^{-x} - \int \big(-\mathrm{e}^{-x}\big)\,n x^{n-1}\,dx.
Simplificando:
I_n = -x^{n}\mathrm{e}^{-x} + n\int x^{n-1}\mathrm{e}^{-x}\,dx.
Ou seja, obtemos a relação de recorrência
\boxed{I_n = -x^{n}\mathrm{e}^{-x} + n I_{n-1}.}
Essa fórmula é muito útil: reduz o expoente n em 1 por aplicação.

Passo 5

Calculamos I_{1} (caso base), que precisaremos depois:
Usando a fórmula direta ou integração por partes simples com u=x e dv=\mathrm{e}^{-x}\,dx:
I_{1}=\int x\mathrm{e}^{-x}\,dx = -x\mathrm{e}^{-x} + \int \mathrm{e}^{-x}\,dx.
E \int \mathrm{e}^{-x}\,dx = -\mathrm{e}^{-x}. Portanto,
I_{1} = -x\mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x}.
Fatorando -\mathrm{e}^{-x}:
I_{1} = -\mathrm{e}^{-x}\big(x+1\big).

Passo 6

Calculamos I_{2} e I_{3} usando a recorrência.
Para n=2:
I_{2} = -x^{2}\mathrm{e}^{-x} + 2 I_{1}.
Substituindo I_{1}:
I_{2} = -x^{2}\mathrm{e}^{-x} + 2\big(-\mathrm{e}^{-x}(x+1)\big) = -\mathrm{e}^{-x}\big(x^{2}+2x+2\big).
Para n=3:
I_{3} = -x^{3}\mathrm{e}^{-x} + 3 I_{2}.
Substituindo I_{2}:
I_{3} = -x^{3}\mathrm{e}^{-x} + 3\big(-\mathrm{e}^{-x}(x^{2}+2x+2)\big) = -\mathrm{e}^{-x}\big(x^{3}+3x^{2}+6x+6\big).

Passo 7

Calculamos I_{4} e I_{5} pelo mesmo processo.
Para n=4:
I_{4} = -x^{4}\mathrm{e}^{-x} + 4 I_{3}.
Substituindo I_{3}:
I_{4} = -x^{4}\mathrm{e}^{-x} + 4\big(-\mathrm{e}^{-x}(x^{3}+3x^{2}+6x+6)\big) = -\mathrm{e}^{-x}\big(x^{4}+4x^{3}+12x^{2}+24x+24\big).
Para n=5:
I_{5} = -x^{5}\mathrm{e}^{-x} + 5 I_{4}.
Substituindo I_{4}:
I_{5} = -x^{5}\mathrm{e}^{-x} + 5\big(-\mathrm{e}^{-x}(x^{4}+4x^{3}+12x^{2}+24x+24)\big).
Portanto,
I_{5} = -\mathrm{e}^{-x}\big(x^{5}+5x^{4}+20x^{3}+60x^{2}+120x+120\big).

Passo 8

Agora combinamos os resultados para obter a integral original:
\int\left(x^{5}-x^{3}+x\right)\mathrm{e}^{-x}\,dx = I_{5}-I_{3}+I_{1}.
Substituímos as expressões já encontradas (todas têm fator -\mathrm{e}^{-x}):
I_{5} = -\mathrm{e}^{-x}P_{5},\quad P_{5}=x^{5}+5x^{4}+20x^{3}+60x^{2}+120x+120,
I_{3} = -\mathrm{e}^{-x}P_{3},\quad P_{3}=x^{3}+3x^{2}+6x+6,
I_{1} = -\mathrm{e}^{-x}P_{1},\quad P_{1}=x+1.
Assim
I_{5}-I_{3}+I_{1} = -\mathrm{e}^{-x}P_{5} -\big(-\mathrm{e}^{-x}P_{3}\big) + \big(-\mathrm{e}^{-x}P_{1}\big).
Fatorando -\mathrm{e}^{-x}:
I_{5}-I_{3}+I_{1} = -\mathrm{e}^{-x}\big(P_{5}-P_{3}+P_{1}\big).

Passo 9

Calculamos o polinômio resultante P_{5}-P_{3}+P_{1}:
Primeiro P_{5}-P_{3}:
P_{5}-P_{3} = (x^{5}+5x^{4}+20x^{3}+60x^{2}+120x+120) - (x^{3}+3x^{2}+6x+6)
= x^{5}+5x^{4}+19x^{3}+57x^{2}+114x+114.
Agora somamos P_{1}=x+1:
P_{5}-P_{3}+P_{1} = x^{5}+5x^{4}+19x^{3}+57x^{2}+115x+115.
Portanto a integral vale
-\mathrm{e}^{-x}\big(x^{5}+5x^{4}+19x^{3}+57x^{2}+115x+115\big) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

-\mathrm{e}^{-x}\big(x^{5}+5x^{4}+19x^{3}+57x^{2}+115x+115\big)+C

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