(40 Pontos) Estude a convergência das séries abaixo:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{k}{k^{2}+2 k+1}

Passo 1

O enunciado pede: estudar a convergência da série
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{k}{k^{2}+2k+1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O termo geral da série é a_k=\dfrac{k}{k^{2}+2k+1} para k=0,1,2,\dots.
  • O primeiro termo é a_0=\dfrac{0}{0+0+1}=0.
  • Para k\ge 1 o numerador e o denominador são positivos, então a_k>0 para k\ge1.
  • A pergunta é se a série converge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita).

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: fatoro o denominador para enxergar melhor o comportamento do termo geral. Note que
k^{2}+2k+1=(k+1)^{2},
portanto podemos reescrever o termo geral como
a_k=\frac{k}{(k+1)^{2}}.
Isso já dá uma boa intuição: para k grande, (k+1)^{2} é da ordem de k^{2}, então a_k é da ordem de \dfrac{k}{k^{2}}=\dfrac{1}{k}. Ou seja, heurística sugere que a série se comporta como a série harmônica \sum \dfrac{1}{k}, que sabemos diverge. Agora vamos transformar essa intuição em um argumento rigoroso usando um teste de comparação.

Passo 3

Vou usar o Teste da Comparação Direta (um teste básico e muito prático). Primeiro explico o teste de forma clara e simples:
  • Se temos duas séries com termos não-negativos \sum a_k e \sum b_k e existir uma constante C>0 tal que, para todo k suficientemente grande, a_k \ge C\, b_k, então se \sum b_k diverge também \sum a_k diverge. Intuição: termos de \sum a_k são pelo menos uma fração fixa dos termos de uma série que já é infinita, então a soma de a_k também fica infinita.
Agora aplico isso ao nosso caso com a_k=\dfrac{k}{(k+1)^2} e b_k=\dfrac{1}{k} (a série harmônica):
Para k\ge 1 temos k+1 \le 2k. Elevando ao quadrado dá (k+1)^2 \le 4k^2. Tomando reciprocais (todas quantidades positivas) obtemos
\frac{1}{(k+1)^2} \ge \frac{1}{4k^2}.
Multiplicando ambos os lados por k>0 resulta
\frac{k}{(k+1)^2} \ge \frac{k}{4k^2} = \frac{1}{4k}.
Ou seja, para todo k\ge1,
a_k = \frac{k}{(k+1)^2} \ge \frac{1}{4k} = \frac{1}{4}\,b_k.

Passo 4

Agora uso o fato conhecido (e importante) que a série harmônica
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}
diverge. Como para todo k\ge1 tem a_k \ge \dfrac{1}{4}b_k e \sum b_k diverge, pelo Teste da Comparação Direta concluímos que a série \sum a_k também diverge. Note que o termo k=0 é zero e não altera a divergência da soma análoga iniciada em k=1.

Passo 5

(Complemento pedagógico — método alternativo) Outra forma muito direta de ver o mesmo resultado é usar o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test). Defina a_k=\dfrac{k}{(k+1)^2} e b_k=\dfrac{1}{k}. Então
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k} = \lim_{k\to\infty}\frac{\dfrac{k}{(k+1)^2}}{\dfrac{1}{k}} = \lim_{k\to\infty}\frac{k^{2}}{(k+1)^{2}} =1.
Como esse limite é um número finito e estritamente positivo, as duas séries \sum a_k e \sum b_k têm o mesmo comportamento (ou convergem ambas ou divergem ambas). Como \sum b_k (a harmônica) diverge, segue que \sum a_k diverge. Esse argumento é mais curto e usa a ideia de que termos assintoticamente proporcionais implicam comportamento assintótico igual da soma.

Passo 6

Resumo da ideia-chave para a prova e para a prova na hora da prova: simplifique o termo para ver a ordem assintótica; compare com a série harmônica; aplique o teste de comparação (direto ou por limite). Isso evita contas difíceis e é rápido de escrever em uma prova.

Resposta

A série diverge.

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