(40 Pontos) Estude a convergência das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: estudar a convergência da série
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O termo geral da série é
para . - O primeiro termo é
. - Para
o numerador e o denominador são positivos, então para . - A pergunta é se a série converge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita).
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: fatoro o denominador para enxergar melhor o comportamento do termo geral. Note que
portanto podemos reescrever o termo geral como
Isso já dá uma boa intuição: para
grande,
é da ordem de
, então
é da ordem de
. Ou seja, heurística sugere que a série se comporta como a série harmônica
, que sabemos diverge. Agora vamos transformar essa intuição em um argumento rigoroso usando um teste de comparação.
Passo 3
Vou usar o Teste da Comparação Direta (um teste básico e muito prático). Primeiro explico o teste de forma clara e simples:
- Se temos duas séries com termos não-negativos
e e existir uma constante tal que, para todo suficientemente grande, , então se diverge também diverge. Intuição: termos de são pelo menos uma fração fixa dos termos de uma série que já é infinita, então a soma de também fica infinita.
Agora aplico isso ao nosso caso com
e
(a série harmônica):
Para temos
. Elevando ao quadrado dá
. Tomando reciprocais (todas quantidades positivas) obtemos
Para
Multiplicando ambos os lados por
resulta
Ou seja, para todo
,
Passo 4
Agora uso o fato conhecido (e importante) que a série harmônica
diverge. Como para todo
tem
e
diverge, pelo Teste da Comparação Direta concluímos que a série
também diverge. Note que o termo
é zero e não altera a divergência da soma análoga iniciada em
.
Passo 5
(Complemento pedagógico — método alternativo) Outra forma muito direta de ver o mesmo resultado é usar o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test). Defina
e
. Então
Como esse limite é um número finito e estritamente positivo, as duas séries
e
têm o mesmo comportamento (ou convergem ambas ou divergem ambas). Como
(a harmônica) diverge, segue que
diverge. Esse argumento é mais curto e usa a ideia de que termos assintoticamente proporcionais implicam comportamento assintótico igual da soma.
Passo 6
Resumo da ideia-chave para a prova e para a prova na hora da prova: simplifique o termo para ver a ordem assintótica; compare com a série harmônica; aplique o teste de comparação (direto ou por limite). Isso evita contas difíceis e é rápido de escrever em uma prova.
Resposta
A série diverge.