(20 pontos) Mostre que todo espaço vetorial finitamente gerado não nulo possui uma base.
Passo 1
O enunciado pede para provar que qualquer espaço vetorial
sobre um corpo
, diferente do espaço nulo e gerado por um conjunto finito, possui uma base. Uma base de
é um subconjunto de vetores que é ao mesmo tempo linearmente independente e gera todo o espaço. Vamos começar com um gerador finito e extrair dele um subconjunto que seja independente e ainda gere
.
Passo 2
Como
é finitamente gerado, existe um conjunto finito
tal que
. Se
já for linearmente independente, então
é uma base e terminamos. Caso contrário, existe dependência linear em
, ou seja, algum vetor
pode ser escrito como combinação dos demais:
com escalares
.
Passo 3
Da equação acima segue que qualquer combinação dos vetores de
pode ser reescrita usando apenas os vetores de
. Portanto
Chamando
, obtemos um gerador de
com menos vetores.
Passo 4
Se
for independente, então já é uma base de
. Senão, repetimos o argumento retirando outro vetor redundante. Como
é finito, esse processo termina em no máximo
etapas num subconjunto
que é linearmente independente e ainda gera
. Como
,
não fica vazio. Por construção,
é uma base de
.
Resposta
Mostramos que todo espaço vetorial finitamente gerado não nulo possui uma base.