(20 pontos) Mostre que todo espaço vetorial finitamente gerado não nulo possui uma base.

Passo 1

O enunciado pede para provar que qualquer espaço vetorial V sobre um corpo F, diferente do espaço nulo e gerado por um conjunto finito, possui uma base. Uma base de V é um subconjunto de vetores que é ao mesmo tempo linearmente independente e gera todo o espaço. Vamos começar com um gerador finito e extrair dele um subconjunto que seja independente e ainda gere V.

Passo 2

Como Vneq0 é finitamente gerado, existe um conjunto finito
S=v1,dots,vnsubset V
tal que Span(S)=V. Se S já for linearmente independente, então S é uma base e terminamos. Caso contrário, existe dependência linear em S, ou seja, algum vetor vkin S pode ser escrito como combinação dos demais:
vk ;=;sumine kai,vi
com escalares aiin F.

Passo 3

Da equação acima segue que qualquer combinação dos vetores de S pode ser reescrita usando apenas os vetores de Ssetminusvk. Portanto
Spanl(Ssetminusvkr);=;Span(S);=;V
Chamando S1 = Ssetminusvk, obtemos um gerador de V com menos vetores.

Passo 4

Se S1 for independente, então já é uma base de V. Senão, repetimos o argumento retirando outro vetor redundante. Como S é finito, esse processo termina em no máximo n etapas num subconjunto Smsubseteq S que é linearmente independente e ainda gera V. Como Vneq0, Sm não fica vazio. Por construção, Sm é uma base de V.

Resposta

Mostramos que todo espaço vetorial finitamente gerado não nulo possui uma base.

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