5.26: Determine uma base para H^perp se:
H é a interseção dos planos x-y-z=0 e 2 x-y+z=0

Passo 1

O enunciado define
H=(x,y,z)inR^3 mid x - y - z = 0,;2x - y + z = 0
O que temos é a interseção de dois planos passando pela origem, logo H é uma reta em R^3. Queremos encontrar
H^perp = vinR^3 mid vcdot h = 0 para todo hin H,
o complemento ortogonal de H.

Passo 2

Extraímos os vetores normais a cada plano:
da equação x - y - z = 0 vem
n1 = (1,-1,-1),
e da equação 2x - y + z = 0 vem
n2 = (2,-1,1)

Passo 3

Cada vetor hin H satisfaz
n1cdot h = 0 e n2cdot h = 0,
portanto
H ;=;l(spann1,n2r)^perp
Em R^3 vale a propriedade de dupla ortogonal
V^perpperp=V para todo subespaço V, ç
logo
H^perp = l(spann1,n2^perpr)^perp = spann1,n2

Passo 4

Verificamos que n1 e n2 não são múltiplos entre si, ou seja, são linearmente independentes em R^3. Portanto eles formam uma base de H^perp.

Resposta

Uma base para H^perp é
(1,-1,-1),,(2,-1,1)

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