( 25 pontos) Mostre que, para cada inteiro n >= 3 é possível encontrar um gerador de R^3 com n elementos. Mostre também que não existe um gerador de R^3 com menos de 3 elementos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre geradores (spanning sets) de R^3:
  1. Para todo inteiro n>=3 existe um conjunto com n vetores que gera R^3.
  2. Não existe nenhum conjunto com menos de 3 vetores que gere R^3.
    O conteúdo principal é a noção de espaço gerado por um conjunto de vetores e o fato de que diml(R^3r)=3.

Passo 2

Primeiro, para n=3 basta tomar a base canônica de R^3, que sabemos gerar todo o espaço. Explicitamente, seja
B = ,e1,e2,e3,
onde
e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)
Pelo teorema das bases, span(B)=R^3.

Passo 3

Agora para um inteiro arbitrário n>3 podemos “colar” vetores extras à base canônica sem alterar o espaço gerado. Por exemplo, definimos
Gn = ,e1,e2,e3,underbracee1,dots,e1n-3 vezes
Claramente todo vetor em Gn está em span(e1,e2,e3), logo
span(Gn) =span(e1,e2,e3) =R^3,
e Gn tem exatamente n elementos.

Passo 4

Para mostrar que não existe gerador com menos de 3 vetores, usamos que qualquer conjunto com m vetores gera um subespaço de dimensão no máximo m. Se m<3, então
diml(span((m) vetores)r)<= m<3,
portanto esse subespaço não pode ser todo R^3 (que tem dimensão 3). Concluímos que nenhum conjunto de 1 ou 2 vetores gera R^3.

Resposta

Para cada n>=3 o conjunto
e1,e2,e3,underbracee1,dots,e1n-3 vezes
gera R^3, e não há gerador com menos de 3 vetores porque sua dimensão ficaria abaixo de 3.

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