( 25 pontos) Mostre que, para cada inteiro é possível encontrar um gerador de com elementos. Mostre também que não existe um gerador de com menos de 3 elementos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre geradores (spanning sets) de :
Para todo inteiro existe um conjunto com vetores que gera .
Não existe nenhum conjunto com menos de 3 vetores que gere .
O conteúdo principal é a noção de espaço gerado por um conjunto de vetores e o fato de que .
Passo 2
Primeiro, para basta tomar a base canônica de , que sabemos gerar todo o espaço. Explicitamente, seja
onde
Pelo teorema das bases, .
Passo 3
Agora para um inteiro arbitrário podemos “colar” vetores extras à base canônica sem alterar o espaço gerado. Por exemplo, definimos
Claramente todo vetor em Gn está em span(e1,e2,e3), logo
span(Gn) =span(e1,e2,e3) =R^3,
e Gn tem exatamente n elementos.
Passo 4
Para mostrar que não existe gerador com menos de 3 vetores, usamos que qualquer conjunto com m vetores gera um subespaço de dimensão no máximo m. Se m<3, então
diml(span((m) vetores)r)<= m<3,
portanto esse subespaço não pode ser todo R^3 (que tem dimensão 3). Concluímos que nenhum conjunto de 1 ou 2 vetores gera R^3.
Resposta
Para cada n>=3 o conjunto
e1,e2,e3,underbracee1,dots,e1n-3 vezes
gera R^3, e não há gerador com menos de 3 vetores porque sua dimensão ficaria abaixo de 3.