( 20 pontos) Relacione o limite
lim h 0 e^h / 2-e^-h / 2h
a uma derivada e, em seguida, calcule-o.

Passo 1

O enunciado pede
L = limh to 0 e^h/2 - e^-h/2h
e nos convida a reconhecê-lo como o quociente fundamental de uma derivada. Para isso, vamos usar a definição de derivada de uma função qualquer g em x=0:
g'(0) = limhto0g(0+h)-g(0)h
No nosso caso, precisamos achar uma g tal que g(0+h)-g(0) = e^h/2-e^-h/2.

Passo 2

Definimos
g(x) = e^x/2 - e^-x/2
Note que
g(0) = e^0 - e^0 = 0,
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g(0+h)-g(0)h = e^h/2 - e^-h/2h,
e portanto L = g'(0).

Passo 3

Calculamos a derivada de g(x) usando a regra da cadeia:
g'(x) = ddxe^x/2 - ddxe^-x/2 = 12,e^x/2 - l(-tfrac12,e^-x/2r) = 12,e^x/2 + 12,e^-x/2

Passo 4

Avaliando em x=0:
g'(0) = 12l(e^0 + e^0r) = 12(1+1) =1

Resposta

1

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