Suponha que o volume ( V ) de um certo corpo depende da temperatura ( T ), de acordo como segue.
V(T)=3 T+40
a) (5 pontos) Detemine a variação do volume ( De<a V ) quando a temperatura varia de T para T+De<a T.
b) (5 pontos) Determine a taxa de variação média de V(T) no intervalo [T, T+De<a T].
c) (10 pontos) A partir do item(b), determine V^prime(T).

Passo 1

O enunciado nos dá a função de volume em função da temperatura
V(T)=3T+40
e pede três coisas:
– (a) a variação De<a V quando a temperatura passa de T para T+De<a T;
– (b) a taxa de variação média de V nesse mesmo intervalo;
– (c) a derivada V'(T), que é o limite da taxa média quando De<a Tto0.

Passo 2

Para encontrar a variação do volume definimos
De<a V = V(T+De<a T)-V(T)
Substituindo V(T)=3T+40 obtemos
De<a V = l[3(T+De<a T)+40r]-l[3T+40r] =3T+3De<a T+40-3T-40 =3,De<a T

Passo 3

A taxa de variação média de V no intervalo [T,T+De<a T] é dada por
De<a VDe<a T =3,De<a TDe<a T =3
Isso mostra que, para qualquer De<a Tneq0, o ganho de volume por grau de temperatura é constante e igual a 3.

Passo 4

A derivada V'(T) é definida como o limite da taxa média quando De<a Tto0:
V'(T)=limDe<a Tto0De<a VDe<a T =limDe<a Tto03 =3
Como V é uma função afim (reta), sua taxa de variação instantânea é sempre 3.

Resposta

a) De<a V=3,De<a T
b) taxa média =;3
c) V'(T)=3

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