Suponha que o volume (
) de um certo corpo depende da temperatura (
), de acordo como segue.
a) (5 pontos) Detemine a variação do volume (
) quando a temperatura varia de
para
.
b) (5 pontos) Determine a taxa de variação média de
no intervalo
.
c) (10 pontos) A partir do item(b), determine
.
b) (5 pontos) Determine a taxa de variação média de
c) (10 pontos) A partir do item(b), determine
Passo 1
O enunciado nos dá a função de volume em função da temperatura
e pede três coisas:
– (a) a variação quando a temperatura passa de
para
;
– (b) a taxa de variação média de nesse mesmo intervalo;
– (c) a derivada , que é o limite da taxa média quando
.
– (a) a variação
– (b) a taxa de variação média de
– (c) a derivada
Passo 2
Para encontrar a variação do volume definimos
Substituindo
obtemos
Passo 3
A taxa de variação média de
no intervalo
é dada por
Isso mostra que, para qualquer
, o ganho de volume por grau de temperatura é constante e igual a
.
Passo 4
A derivada
é definida como o limite da taxa média quando
:
Como
é uma função afim (reta), sua taxa de variação instantânea é sempre
.
Resposta
a)
b) taxa média
c)
b) taxa média
c)