Questão. (1,0 pt) Seja a função f dada por f(x)=(x+1)^3(x^2-x)^4. Encontre os valores inteiros de x tal que o gráfico de f tenha tangente horizontal.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = (x+1)^3,(x^2 - x)^4
e pede os valores inteiros de x em que o gráfico de f tem tangente horizontal. Isso significa resolver
f'(x)=0
Para isso vamos calcular f'(x) usando regra do produto e depois fatorar.

Passo 2

Reescrevendo (x^2 - x)^4 = x^4,(x-1)^4, temos
f(x) = (x+1)^3,x^4,(x-1)^4
Aplicando a regra do produto em blocos e depois fatorando termos comuns, chega-se a
f'(x) = (x+1)^2,x^3,(x-1)^3,(11x^2 + x - 4)

Passo 3

Para ter tangente horizontal, precisamos de
f'(x)=0,
ou seja, pelo produto igual a zero, alguma das parcelas deve ser zero:
(x+1)^2=0, x^3=0,(x-1)^3=0, 11x^2 + x - 4=0

Passo 4

Das três primeiras equações vem imediatamente
x=-1,;x=0,;x=1
A equação quadrática
11x^2 + x - 4 = 0
tem raízes
x = -1 pm raiz1 + 17622 = -1 pm raiz17722,
que não são inteiras.

Passo 5

Portanto, os únicos valores inteiros que anulam f'(x) são
x = -1,;0,;1

Resposta

-1,,0,,1

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