Calcule fx x, fx y=fy x e fy y para as seguintes funções.
1 /(x+i y).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=1x+i,y,
Para isso vamos usar a notação z=x+i,y e aplicar a regra da cadeia, sabendo que partial z/partial x=1 e partial z/partial y=i.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de primeira ordem:
f(x,y)=z^-1
fx=partialpartial xz^-1=-z^-2,partial zpartial x=-z^-2
fy=partialpartial yz^-1=-z^-2,partial zpartial y=-z^-2,i=-i,z^-2

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia novamente para obter fxx e fxy:
fxx=partialpartial x(-z^-2) =-l(-2,z^-3r),partial zpartial x =2,z^-3
fxy=partialpartial y(-z^-2) =-l(-2,z^-3r),partial zpartial y =2,i,z^-3

Passo 4

Por fim, calculamos fyx e fyy:
fyx=partialpartial x(-i,z^-2) =-il(-2,z^-3r),partial zpartial x =2,i,z^-3
fyy=partialpartial y(-i,z^-2) =-il(-2,z^-3r),partial zpartial y =-2,z^-3
Observamos que de fato fxy=fyx=2,i,z^-3.

Resposta

fxx=2(x+i,y)^3, fxy=fyx=2,i(x+i,y)^3, fyy=-2(x+i,y)^3

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