( 20 pontos)Resolva o seguinte sistema l2 x-y-z=5 3 x-2 y+z=-1 -x+y+z=0 pelo método de Gauss-Jordan. Explicite os passos da resolução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
2x - y - z = 5, 3x - 2y + z = -1, -,x + y + z = 0
pelo método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para chegar à forma reduzida.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 2 & -1 & -1 & 5 3 & -2 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 & 0 ]

Passo 3

Tornamos o pivô da primeira linha igual a 1 dividindo a linha 1 por 2:
R1 12R1 Longrightarrow [ccc|c 1 & -tfrac12 & -tfrac12 & tfrac52 3 & -2 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 & 0 ]

Passo 4

Eliminamos a coluna x nas linhas 2 e 3 usando o pivô em R1:
R2 R2 - 3R1, R3 R3 + R1
Longrightarrow [ccc|c 1 & -tfrac12 & -tfrac12 & tfrac52 0 & -tfrac12 & tfrac52 & -tfrac172 0 & tfrac12 & tfrac12 & tfrac52 ]

Passo 5

Normalizamos o pivô da segunda linha, dividindo R2 por -tfrac12:
R2 l(-2r)R2 Longrightarrow [ccc|c 1 & -tfrac12 & -tfrac12 & tfrac52 0 & 1 & -5 & 17 0 & tfrac12 & tfrac12 & tfrac52 ]

Passo 6

Eliminamos a coluna y nas linhas 1 e 3 usando o pivô em R2:
R1 R1 + tfrac12R2, R3 R3 - tfrac12R2
Longrightarrow [ccc|c 1 & 0 & -3 & 11 0 & 1 & -5 & 17 0 & 0 & 3 & -6 ]

Passo 7

Normalizamos o pivô da terceira linha dividindo R3 por 3:
R3 tfrac13R3 Longrightarrow [ccc|c 1 & 0 & -3 & 11 0 & 1 & -5 & 17 0 & 0 & 1 & -2 ]

Passo 8

Por fim eliminamos a coluna z nas linhas 1 e 2 usando o pivô em R3:
R1 R1 + 3R3, R2 R2 + 5R3
Longrightarrow [ccc|c 1 & 0 & 0 & 5 0 & 1 & 0 & 7 0 & 0 & 1 & -2 ]

Resposta

x = 5, y = 7, z = -2.

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