( 20 pontos)Calcule a matriz inversa da matriz A=[ccc2 & 3 & 4 1 & 1 & 2 1 & 2 & 3], caso seja possível. Explicite os passos da solução.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a matriz inversa de
A = 2 & 3 & 4 1 & 1 & 2 1 & 2 & 3
O conteúdo é inversão de matriz 3×3 e vamos usar o método de Gauss–Jordan. Primeiro verificamos se det(A)neq0, pois só assim a inversa existe.

Passo 2

Calculamos o determinante de A:
det(A) =2l(1cdot3-2cdot2r) -3l(1cdot3-2cdot1r) +4l(1cdot2-1cdot1r) =-1
Como det(A)=-1neq0, a inversa existe.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada [Amid I]:
[Amid I] = 2 & 3 & 4 &mid& 1 & 0 & 0 1 & 1 & 2 &mid& 0 & 1 & 0 1 & 2 & 3 &mid& 0 & 0 & 1

Passo 4

Para facilitar, trocamos R1rightarrow R2 (assim o pivô é 1):
1 & 1 & 2 &mid& 0 & 1 & 0 2 & 3 & 4 &mid& 1 & 0 & 0 1 & 2 & 3 &mid& 0 & 0 & 1

Passo 5

Eliminamos os elementos abaixo do pivô da coluna 1 com
R2 R2-2R1, R3 R3-R1
Isso leva a
1 & 1 & 2 &mid& 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 &mid& 1 & -2 & 0 0 & 1 & 1 &mid& 0 & -1 & 1

Passo 6

Agora eliminamos na coluna 2 com
R3 R3-R2, R1 R1-R2
Obtém-se
1 & 0 & 2 &mid& -1 & 3 & 0 0 & 1 & 0 &mid& 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 &mid& -1 & 1 & 1

Passo 7

Por fim, eliminamos o 2 na posição (1,3) usando
R1 R1-2R3,
e chegamos à forma
1 & 0 & 0 &mid& 1 & 1 & -2 0 & 1 & 0 &mid& 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 &mid& -1 & 1 & 1 ,
que é [Imid A^-1].

Resposta

A^-1 = 1 & 1 & -2 1 & -2 & 0 -1 & 1 & 1

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