Determine uma equação do plano pi, passando por P=(-2,0,1) e perpendicular à reta rlx=5+2 m y=2+m z=-1-m. Determine o ponto R onde a reta r encontra o plano pi.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano
ou seja, a direção de . Depois precisamos achar o ponto em que intercepta esse plano.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor de r como
vec v = (2,,1,,-1)
Como o plano pi é perpendicular a r, temos
vec n = vec v = (2,,1,,-1)
como vetor normal de pi.

Passo 3

A equação vetorial do plano com normal vec n=(2,1,-1) passando por P=(-2,0,1) é
vec ncdotl((x,y,z)-(-2,0,1)r)=0
Em coordenadas cartesianas isso dá
2(x+2)+1,(y-0)-1,(z-1)=0
que ao expandir e simplificar resulta em
2x+y-z+5=0

Passo 4

Para achar a interseção R substituímos x=5+2m, y=2+m, z=-1-m na equação do plano:
2(5+2m)+(2+m)-(-1-m)+5=0
Isso simplifica para
10+4m+2+m+1+m+5=0 Longrightarrow 18+6m=0 Longrightarrow m=-3

Passo 5

Com m=-3 encontramos
xR=5+2(-3)=-1, yR=2+(-3)=-1, zR=-1-(-3)=2
Logo R=(-1,-1,2).

Resposta

Equação do plano:
2x + y - z + 5 = 0
Ponto de interseção:
R = (-1,, -1,, 2)

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