( 20 pontos) Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de
(polinômios de grau no máximo 3). Em caso afirmativo exibir uma base.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Se for subespaço, é preciso exibir uma base.
Informações importantes dadas:
Informações importantes dadas:
- Um elemento geral de
é com . - A condição que define
é .
O que se pede: - Determinar se
é subespaço (sim ou não) e, em caso afirmativo, apresentar uma base de .
Passo 2
Lembrete rápido e didático sobre o que é preciso checar para um subconjunto ser subespaço linear: tomar o espaço vetorial
com soma e multiplicação por escalar usuais. Um subconjunto
é subespaço se e somente se:
-
contém o vetor zero (não é vazio); -
é fechado para soma: se então ; -
é fechado para multiplicação por escalar: se e então .
Vou verificar esses três itens passo a passo, de forma direta e elementar.
Passo 3
Verificar que
não é vazio e contém o polinômio zero. O polinômio zero é
aqui
e
então
. Logo
. Portanto a condição (1) está satisfeita.
Passo 4
Fechamento por soma. Seja
pelas hipóteses
e
. A soma é
Como
e
segue que
Portanto o coeficiente de
em
é igual ao coeficiente de
em
, isto é
satisfaz a condição
. Logo
. Assim
é fechado para soma.
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar. Seja
com
e
. Então
Como
temos
, então os coeficientes de
e
em
são iguais, logo
. Assim
é fechado para multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão sobre ser subespaço. Pelos passos anteriores,
contém o vetor zero, é fechado para soma e para multiplicação por escalar. Portanto
é um subespaço linear de
. (Observação alternativa e rápida: a condição
é uma equação linear nos coeficientes, então
é o núcleo da forma linear
dada por
; o núcleo de uma transformação linear é sempre subespaço.)
Passo 7
Agora vamos encontrar uma base. Parametrizar os coeficientes usando a condição
. Escrevendo um elemento genérico de
como
vemos que os graus de liberdade são
,
e
. Reorganizando:
Isto sugere que os polinômios
geram
.
Passo 8
Verificar que esses três polinômios geram
(span). Qualquer
tem a forma acima, portanto pode ser escrita como
com
. Logo
gera
.
Passo 9
Verificar independência linear. Suponha que existam escalares
tais que
(se o polinômio é identicamente zero). Igualando coeficientes para cada grau obtemos o sistema
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - coeficiente de
: (mesma equação), - coeficiente constante:
.
Assim. Portanto os três vetores são linearmente independentes.
Passo 10
Conclusão sobre a base e dimensão. Como
gera
e é linearmente independente, é uma base de
. Logo
é um subespaço de dimensão
de
(que tem dimensão
); a condição
impôs uma restrição linear, reduzindo a dimensão em 1.
Resposta
Sim. Uma base é
.