( 20 pontos) Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de P_{3}(\mathbb{R}) (polinômios de grau no máximo 3). Em caso afirmativo exibir uma base.
W=\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3} \in P_{3}(\mathbb{R}) \mid a_{1}=a_{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W=\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}\in P_{3}(\mathbb{R}) \mid a_{1}=a_{2}\right\}
é um subespaço de P_{3}(\mathbb{R}). Se for subespaço, é preciso exibir uma base.
Informações importantes dadas:
  • Um elemento geral de P_{3}(\mathbb{R}) é \displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3} com a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\in\mathbb{R}.
  • A condição que define W é \displaystyle a_{1}=a_{2}.
    O que se pede:
  • Determinar se W é subespaço (sim ou não) e, em caso afirmativo, apresentar uma base de W.

Passo 2

Lembrete rápido e didático sobre o que é preciso checar para um subconjunto ser subespaço linear: tomar o espaço vetorial P_{3}(\mathbb{R}) com soma e multiplicação por escalar usuais. Um subconjunto W é subespaço se e somente se:
  1. W contém o vetor zero (não é vazio);
  2. W é fechado para soma: se p,q\in W então p+q\in W;
  3. W é fechado para multiplicação por escalar: se p\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda p\in W.
    Vou verificar esses três itens passo a passo, de forma direta e elementar.

Passo 3

Verificar que W não é vazio e contém o polinômio zero. O polinômio zero é
0=0+0\cdot x+0\cdot x^{2}+0\cdot x^{3},
aqui a_{1}=0 e a_{2}=0 então a_{1}=a_{2}. Logo 0\in W. Portanto a condição (1) está satisfeita.

Passo 4

Fechamento por soma. Seja
p(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}\in W \qquad\text{e}\qquad q(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}\in W,
pelas hipóteses b_{1}=b_{2} e c_{1}=c_{2}. A soma é
(p+q)(x)=(b_{0}+c_{0})+(b_{1}+c_{1})x+(b_{2}+c_{2})x^{2}+(b_{3}+c_{3})x^{3}.
Como b_{1}=b_{2} e c_{1}=c_{2} segue que
b_{1}+c_{1}=b_{2}+c_{2}.
Portanto o coeficiente de x em p+q é igual ao coeficiente de x^{2} em p+q, isto é (p+q) satisfaz a condição a_{1}=a_{2}. Logo p+q\in W. Assim W é fechado para soma.

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar. Seja p(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}\in W com b_{1}=b_{2} e \lambda\in\mathbb{R}. Então
(\lambda p)(x)=\lambda b_{0}+(\lambda b_{1})x+(\lambda b_{2})x^{2}+(\lambda b_{3})x^{3}.
Como b_{1}=b_{2} temos \lambda b_{1}=\lambda b_{2}, então os coeficientes de x e x^{2} em \lambda p são iguais, logo \lambda p\in W. Assim W é fechado para multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão sobre ser subespaço. Pelos passos anteriores, W contém o vetor zero, é fechado para soma e para multiplicação por escalar. Portanto W é um subespaço linear de P_{3}(\mathbb{R}). (Observação alternativa e rápida: a condição a_{1}-a_{2}=0 é uma equação linear nos coeficientes, então W é o núcleo da forma linear L dada por L(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})=a_{1}-a_{2}; o núcleo de uma transformação linear é sempre subespaço.)

Passo 7

Agora vamos encontrar uma base. Parametrizar os coeficientes usando a condição a_{1}=a_{2}. Escrevendo um elemento genérico de W como
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{1}x^{2}+a_{3}x^{3},
vemos que os graus de liberdade são a_{0}\in\mathbb{R}, a_{1}\in\mathbb{R} e a_{3}\in\mathbb{R}. Reorganizando:
p(x)=a_{0}\cdot 1 + a_{1}\cdot(x+x^{2}) + a_{3}\cdot x^{3}.
Isto sugere que os polinômios
1,\quad x+x^{2},\quad x^{3}
geram W.

Passo 8

Verificar que esses três polinômios geram W (span). Qualquer p\in W tem a forma acima, portanto pode ser escrita como
p = a_{0}\cdot 1 + a_{1}\cdot (x+x^{2}) + a_{3}\cdot x^{3},
com a_{0},a_{1},a_{3}\in\mathbb{R}. Logo \{1,\,x+x^{2},\,x^{3}\} gera W.

Passo 9

Verificar independência linear. Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha\cdot 1 + \beta\cdot (x+x^{2}) + \gamma\cdot x^{3} \equiv 0
(se o polinômio é identicamente zero). Igualando coeficientes para cada grau obtemos o sistema
  • coeficiente de x^{3}: \gamma=0,
  • coeficiente de x^{2}: \beta=0,
  • coeficiente de x: \beta=0 (mesma equação),
  • coeficiente constante: \alpha=0.
    Assim \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto os três vetores são linearmente independentes.

Passo 10

Conclusão sobre a base e dimensão. Como \{1,\,x+x^{2},\,x^{3}\} gera W e é linearmente independente, é uma base de W. Logo W é um subespaço de dimensão 3 de P_{3}(\mathbb{R}) (que tem dimensão 4); a condição a_{1}=a_{2} impôs uma restrição linear, reduzindo a dimensão em 1.

Resposta

Sim. Uma base é \{\,1,\;x+x^{2},\;x^{3}\,\}.

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