( 20,0 pontos) Seja considerado um fio de uma resistência elétrica com 10 mm de diâmetro que será submetido a uma tensão de 220 V e a uma corrente de 32 A . Com o objetivo de intensificar a troca de calor com o ar ambiente durante a operação, o fio será revestido com um material plástico cujas propriedades são as seguintes:
e
. As propriedades do fio são as seguintes:
e
. Considerando o coeficiente de convecção externo igual a
e a temperatura do ambiente externo igual a
, determinar a espessura do materíal plástíco de revestimento que resulta na maior transferência de calor do fio para o ar ambiente.
Obs.: (Potência
Tensão × Corrente)
Obs.: (Potência
Passo 1
O enunciado pede para determinar a espessura do revestimento plástico que resulta na maior transferência de calor do fio para o ar ambiente. Dados importantes fornecidos (vou listar tudo explicitamente para não perder nada):
Propriedades do revestimento plástico:
Propriedades do fio (metal):
Convecção externa e ambiente:
Potência elétrica dissipada (informação dada opcionalmente):
O que o problema pede: determinar a espessura do revestimento plástico
(onde
, com
sendo o raio externo do revestimento) que maximiza a transferência de calor do fio para o ar ambiente.
Passo 2
Modelo físico e hipóteses (explicação didática):
- O calor gerado no fio flui radialmente para fora, atravessa o revestimento plástico por condução e depois é perdido para o ar por convecção na superfície externa do revestimento.
- Para comparar “quanto calor sai para o ar” independentemente de temperatura absoluta, trabalhamos com a resistência térmica total por unidade de comprimento (rede série de resistências): resistência de condução do revestimento + resistência de convecção externa.
- Usamos resistência por unidade de comprimento (comprimento
), assim as fórmulas ficam mais simples e a otimização independe do comprimento real do fio. - Justificativa de ignorar a resistência térmica do metal:
é muito maior que , logo a queda de temperatura dentro do metal é pequena comparada à queda no revestimento; portanto a resistência do metal é desprezível frente à do revestimento (essa é uma aproximação comum e válida aqui).
Passo 3
Escrevendo as resistências térmicas por unidade de comprimento (isto é, por metro de fio):
- Resistência de condução radial através do revestimento (cilíndrico) do raio
até :
Explicação: para condução radial em cilindro, a resistência por comprimento
é
; aqui
, e
.
- Resistência de convecção na superfície externa de raio
:
Explicação: a resistência convectiva por unidade de comprimento é
com área lateral por comprimento
.
Passo 4
Resistência total por unidade de comprimento e objetivo da otimização:
Queremos a maior transferência de calor para o ar. Se tomarmos uma diferença de temperatura
entre o fio (superfície interna efetiva) e o ambiente, a taxa de calor por unidade de comprimento é
Para maximizar
com relação a
(ou seja, encontrar o
que dá maior condutância térmica), basta minimizar
. Portanto diferenciamos
em relação a
e igualamos a zero.
Passo 5
Derivação matemática passo a passo:
Calcule a derivada de em relação a
:
Calcule a derivada de
As duas derivadas são:
e
Somando e igualando a zero:
Multiplicando ambos os lados por
resulta:
Isolando
:
Observação importante: a expressão otimizada para
não depende de
nem de
; é determinada apenas pelas propriedades térmicas do revestimento e pelo coeficiente de convecção.
Passo 6
Substituição numérica e cálculo da espessura:
Raio interno (do fio) já calculado:
Logo a espessura ótima do revestimento é
Verificação rápida de plausibilidade:
(ok). Também vale comentar: o valor ótimo não depende da potência elétrica total
; mesmo que a potência seja grande, o
que maximiza a condutância térmica por grau de diferença é o mesmo.