( 20,0 pontos) Seja considerado um fio de uma resistência elétrica com 10 mm de diâmetro que será submetido a uma tensão de 220 V e a uma corrente de 32 A . Com o objetivo de intensificar a troca de calor com o ar ambiente durante a operação, o fio será revestido com um material plástico cujas propriedades são as seguintes: \mathrm{k}_{\mathrm{rev}}=0,056 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, \rho_{\mathrm{rev}}=1100 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{c}_{\mathrm{p}, \mathrm{rev}}=1500 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}. As propriedades do fio são as seguintes: \mathrm{k}_{\mathrm{f}}=21 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, \rho_{\mathrm{f}}=7900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{c}_{\mathrm{p}, \mathrm{t}}=500 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}. Considerando o coeficiente de convecção externo igual a \mathrm{h}_{\mathrm{ext}}=7,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e a temperatura do ambiente externo igual a 25^{\circ} \mathrm{C}, determinar a espessura do materíal plástíco de revestimento que resulta na maior transferência de calor do fio para o ar ambiente.
Obs.: (Potência = Tensão × Corrente)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a espessura do revestimento plástico que resulta na maior transferência de calor do fio para o ar ambiente. Dados importantes fornecidos (vou listar tudo explicitamente para não perder nada):
\text{diâmetro do fio } = 10\\ \text{mm}â
\Rightarrow r_{1} = \frac{10\\ \text{mm}}{2} = 5\\ \text{mm} = 0{,}005\\ \text{m}
Propriedades do revestimento plástico:
k_{\mathrm{rev}} = 0{,}056\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\quad \rho_{\mathrm{rev}} = 1100\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad c_{p,\mathrm{rev}} = 1500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
Propriedades do fio (metal):
k_{\mathrm{f}} = 21\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\quad \rho_{\mathrm{f}} = 7900\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad c_{p,\mathrm{f}} = 500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
Convecção externa e ambiente:
h_{\mathrm{ext}} = 7{,}0\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)},\quad T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}
Potência elétrica dissipada (informação dada opcionalmente):
P = V\cdot I = 220\\ \mathrm{V}\times 32\\ \mathrm{A} = 7040\\ \mathrm{W}
O que o problema pede: determinar a espessura do revestimento plástico t (onde t = r_{2}-r_{1}, com r_{2} sendo o raio externo do revestimento) que maximiza a transferência de calor do fio para o ar ambiente.

Passo 2

Modelo físico e hipóteses (explicação didática):
  • O calor gerado no fio flui radialmente para fora, atravessa o revestimento plástico por condução e depois é perdido para o ar por convecção na superfície externa do revestimento.
  • Para comparar “quanto calor sai para o ar” independentemente de temperatura absoluta, trabalhamos com a resistência térmica total por unidade de comprimento (rede série de resistências): resistência de condução do revestimento + resistência de convecção externa.
  • Usamos resistência por unidade de comprimento (comprimento L=1\\ \mathrm{m}), assim as fórmulas ficam mais simples e a otimização independe do comprimento real do fio.
  • Justificativa de ignorar a resistência térmica do metal: k_{\mathrm{f}}=21 é muito maior que k_{\mathrm{rev}}=0{,}056, logo a queda de temperatura dentro do metal é pequena comparada à queda no revestimento; portanto a resistência do metal é desprezível frente à do revestimento (essa é uma aproximação comum e válida aqui).

Passo 3

Escrevendo as resistências térmicas por unidade de comprimento (isto é, por metro de fio):
  • Resistência de condução radial através do revestimento (cilíndrico) do raio r_{1} até r_{2}:
R'_{\mathrm{cond}}=\frac{1}{2\pi k_{\mathrm{rev}}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)
Explicação: para condução radial em cilindro, a resistência por comprimento L é \dfrac{\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k L}; aqui L=1, e k=k_{\mathrm{rev}}.
  • Resistência de convecção na superfície externa de raio r_{2}:
R'_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{2\pi r_{2} h_{\mathrm{ext}}}
Explicação: a resistência convectiva por unidade de comprimento é 1/(h\cdot A_{\text{conv}}) com área lateral por comprimento A_{\text{conv}}=2\pi r_{2}\cdot 1.

Passo 4

Resistência total por unidade de comprimento e objetivo da otimização:
R'_{\mathrm{tot}}(r_{2})=R'_{\mathrm{cond}}+R'_{\mathrm{conv}} =\frac{1}{2\pi k_{\mathrm{rev}}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)+\frac{1}{2\pi r_{2} h_{\mathrm{ext}}}
Queremos a maior transferência de calor para o ar. Se tomarmos uma diferença de temperatura \Delta T entre o fio (superfície interna efetiva) e o ambiente, a taxa de calor por unidade de comprimento é
q'(r_{2})=\frac{\Delta T}{R'_{\mathrm{tot}}(r_{2})}.
Para maximizar q' com relação a r_{2} (ou seja, encontrar o r_{2} que dá maior condutância térmica), basta minimizar R'_{\mathrm{tot}}(r_{2}). Portanto diferenciamos R'_{\mathrm{tot}}(r_{2}) em relação a r_{2} e igualamos a zero.

Passo 5

Derivação matemática passo a passo:
Calcule a derivada de R'_{\mathrm{tot}}(r_{2}) em relação a r_{2}:
\frac{dR'_{\mathrm{tot}}}{dr_{2}} =\frac{d}{dr_{2}}\left[\frac{1}{2\pi k_{\mathrm{rev}}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)\right] +\frac{d}{dr_{2}}\left[\frac{1}{2\pi r_{2} h_{\mathrm{ext}}}\right].
As duas derivadas são:
\frac{d}{dr_{2}}\left[\frac{1}{2\pi k_{\mathrm{rev}}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)\right] =\frac{1}{2\pi k_{\mathrm{rev}}}\cdot\frac{1}{r_{2}}
e
\frac{d}{dr_{2}}\left[\frac{1}{2\pi r_{2} h_{\mathrm{ext}}}\right] =-\frac{1}{2\pi h_{\mathrm{ext}}}\cdot\frac{1}{r_{2}^{2}}.
Somando e igualando a zero:
\frac{1}{2\pi k_{\mathrm{rev}}}\cdot\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{2\pi h_{\mathrm{ext}}}\cdot\frac{1}{r_{2}^{2}}=0.
Multiplicando ambos os lados por 2\pi r_{2}^{2} resulta:
\frac{r_{2}}{k_{\mathrm{rev}}}-\frac{1}{h_{\mathrm{ext}}}=0.
Isolando r_{2}:
r_{2}=\frac{k_{\mathrm{rev}}}{h_{\mathrm{ext}}}.
Observação importante: a expressão otimizada para r_{2} não depende de r_{1} nem de \Delta T; é determinada apenas pelas propriedades térmicas do revestimento e pelo coeficiente de convecção.

Passo 6

Substituição numérica e cálculo da espessura:
r_{2}=\frac{k_{\mathrm{rev}}}{h_{\mathrm{ext}}}=\frac{0{,}056\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}}{7{,}0\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}}=0{,}008\\ \mathrm{m}=8\\ \text{mm}.
Raio interno (do fio) já calculado:
r_{1}=0{,}005\\ \mathrm{m}=5\\ \text{mm}.
Logo a espessura ótima do revestimento é
t=r_{2}-r_{1}=0{,}008\\ \mathrm{m}-0{,}005\\ \mathrm{m}=0{,}003\\ \mathrm{m}=3\\ \text{mm}.
Verificação rápida de plausibilidade: r_{2}>r_{1} (ok). Também vale comentar: o valor ótimo não depende da potência elétrica total P; mesmo que a potência seja grande, o t que maximiza a condutância térmica por grau de diferença é o mesmo.

Resposta

t=3\\ \text{mm}

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