( 30,0 pontos) Em uma indústria de alimentos existe uma tubulação por onde circula vapor d’água a uma temperatura de 220^{\circ} \mathrm{C}. A tubulação é composta por um tubo de aço com 130 metros de comprimento, três polegadas, Schedule 10s (Diâmetro interno do tubo: 82,8 \mathrm{~mm} e espessura da parede: 3,05 \mathrm{~mm} ), cuja condutividade térmica é de \mathrm{k}_{\mathrm{ub}}=62,0 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}). Sobre o tubo existe uma camada de isolante com 42 mm de espessura e condutividade térmica de \mathrm{k}_{\mathrm{isol}}=0,045 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}), sobre o isolante existe uma camada de material de impermeabilizaçåo com 5 mm de espessura e condutividade térmica de \mathrm{k}_{\mathrm{mp}}=0,82 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}) e sobre o material de impermeabilizaçăo existe uma chapa de alumínio com 2 mm de espessura e condutividade térmica de \mathrm{k}_{\mathrm{ath}}=178 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}). O coeficiente de convecçăo interno é de 55 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right) e o coeficiente de convecçăo externo é de 30 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). A indústria está instalada na cidade do Rio de Janeiro cuja temperatura ambiente pode ser admitida igual a 34^{\circ} \mathrm{C}. Determinar:
a) ( 15,0 pontos) A taxa de transferência de calor através da tubulação;
b) (15,0 pontos) A temperatura na superficie externa da tubulaçåo (na superficie externa da chapa de alumínio).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A taxa de transferência de calor através da tubulação (potência térmica perdida por unidade de tempo).
  2. A temperatura na superfície externa da tubulação (na superfície externa da chapa de alumínio).
Dados fornecidos (vou listar todos com as unidades e converter milímetros para metros quando necessário):
\begin{aligned} &\text{Temperatura do vapor (interna): }T_{\mathrm{v}}=220^{\circ}\mathrm{C},\\\ &\text{Temperatura ambiente: }T_{\infty}=34^{\circ}\mathrm{C},\\\ &\text{Comprimento do tubo: }L=130\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Diâmetro interno do tubo: }D_{\mathrm{i}}=82{,}8\\ \mathrm{mm}=0{,}0828\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Espessura parede do tubo (aço): }t_{\mathrm{ub}}=3{,}05\\ \mathrm{mm}=0{,}00305\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Espessura do isolante: }t_{\mathrm{isol}}=42\\ \mathrm{mm}=0{,}042\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Espessura do material impermeabilização: }t_{\mathrm{mp}}=5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Espessura da chapa de alumínio: }t_{\mathrm{ath}}=2\\ \mathrm{mm}=0{,}002\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Condutividade térmica do aço: }k_{\mathrm{ub}}=62{,}0\\ \mathrm{W/(m\,K)},\\\ &\text{Condutividade do isolante: }k_{\mathrm{isol}}=0{,}045\\ \mathrm{W/(m\,K)},\\\ &\text{Condutividade do material impermeabilização: }k_{\mathrm{mp}}=0{,}82\\ \mathrm{W/(m\,K)},\\\ &\text{Condutividade do alumínio: }k_{\mathrm{ath}}=178\\ \mathrm{W/(m\,K)},\\\ &\text{Coeficiente de convecção interno: }h_{\mathrm{i}}=55\\ \mathrm{W/(m^{2}K)},\\\ &\text{Coeficiente de convecção externo: }h_{\mathrm{o}}=30\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}. \end{aligned}âççãíéççãíçãçã
Observação geométrica (a partir dos dados): o sistema é constituído por várias camadas cilíndricas concêntricas. Vou definir os raios das superfícies concêntricas (em metros):
\begin{aligned} &r_{1}=\frac{D_{\mathrm{i}}}{2},\\\ &r_{2}=r_{1}+t_{\mathrm{ub}},\\\ &r_{3}=r_{2}+t_{\mathrm{isol}},\\\ &r_{4}=r_{3}+t_{\mathrm{mp}},\\\ &r_{5}=r_{4}+t_{\mathrm{ath}}, \end{aligned}
onde r_{1} é o raio interno (superfície do fluido / parede interna do tubo) e r_{5} é o raio externo da chapa de alumínio (superfície exposta ao ar).
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Plano de solução e fórmulas principais (explicação didática curta e prática):
  • Vamos modelar as resistências térmicas em série: convecção interna (fluido → parede interna), condução através de cada casca cilíndrica (aço, isolante, impermeabilização, alumínio) e convecção externa (superfície externa → ambiente).
  • Para convecção sobre uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento L, a resistência é
R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{h\;A}=\frac{1}{h\; (2\pi r L)},
onde h é o coeficiente de convecção e A=2\pi r L é a área lateral do cilindro. Explicando: convecção relaciona fluxo de calor com diferença de temperatura pela resistência inversa de área e coeficiente h.
  • Para condução radial através de uma casca cilíndrica (entre raios r_{\mathrm{in}} e r_{\mathrm{out}}) a resistência é
R_{\mathrm{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\mathrm{out}}}{r_{\mathrm{in}}}\right)}{2\pi k L},
onde k é a condutividade térmica. Aqui a razão r_{\mathrm{out}}/r_{\mathrm{in}} aparece por causa da geometria cilíndrica (a área disponível varia com o raio).
  • A resistência térmica total em série será
R_{\mathrm{tot}}=R_{\mathrm{conv,i}}+R_{\mathrm{cond,ub}}+R_{\mathrm{cond,isol}}+R_{\mathrm{cond,mp}}+R_{\mathrm{cond,ath}}+R_{\mathrm{conv,o}}.
  • A taxa de calor (potência) é dada por
\dot{Q}=\frac{T_{\mathrm{v}}-T_{\infty}}{R_{\mathrm{tot}}}.
  • A temperatura na superfície externa da chapa (superfície exposta ao ar) pode ser obtida como
T_{\mathrm{s,ext}}=T_{\infty}+\dot{Q}\;R_{\mathrm{conv,o}}
ou equivalente
T_{\mathrm{s,ext}}=T_{\mathrm{v}}-\dot{Q}\;(R_{\mathrm{tot}}-R_{\mathrm{conv,o}}).
Agora aplico essas fórmulas com os números dados.

Passo 3

Cálculo dos raios (conversões já listadas no Passo 1):
\begin{aligned} &r_{1}=\frac{0{,}0828}{2}=0{,}0414\\ \mathrm{m},\\\ &r_{2}=0{,}0414+0{,}00305=0{,}04445\\ \mathrm{m},\\\ &r_{3}=0{,}04445+0{,}042=0{,}08645\\ \mathrm{m},\\\ &r_{4}=0{,}08645+0{,}005=0{,}09145\\ \mathrm{m},\\\ &r_{5}=0{,}09145+0{,}002=0{,}09345\\ \mathrm{m}. \end{aligned}

Passo 4

Cálculo da resistência de convecção interna (do vapor para a parede interna):
R_{\mathrm{conv,i}}=\frac{1}{h_{\mathrm{i}}\;2\pi r_{1} L}.
Substituindo os valores:
R_{\mathrm{conv,i}}=\frac{1}{55\cdot 2\pi\cdot 0{,}0414\cdot 130}.
Vou deixar a avaliação numérica explícita:
2\pi r_{1}L=2\pi\cdot 0{,}0414\cdot 130\approx 33{,}8665\\ \mathrm{m^{2}},
portanto
R_{\mathrm{conv,i}}\approx \frac{1}{55\cdot 33{,}8665}\approx 0{,}0005366\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

Resistência de condução através da parede de aço (casca cilíndrica entre r_{1} e r_{2}):
R_{\mathrm{cond,ub}}=\frac{\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k_{\mathrm{ub}} L}.
Substituindo:
R_{\mathrm{cond,ub}}=\frac{\ln(0{,}04445/0{,}0414)}{2\pi\cdot 62\cdot 130}.
Cálculo intermediário:
\ln\!\left(\frac{0{,}04445}{0{,}0414}\right)\approx 0{,}07104,\quad 2\pi k_{\mathrm{ub}}L\approx 50{,}672{,}9,
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R_{\mathrm{cond,ub}}\approx 1{,}40\times 10^{-6}\\ \mathrm{K/W}.
Observação: é muito pequena em comparação com a resistência do isolante (o aço é fino e tem alta condutividade).

Passo 6

Resistência de condução através do isolante (entre r_{2} e r_{3}):
R_{\mathrm{cond,isol}}=\frac{\ln(r_{3}/r_{2})}{2\pi k_{\mathrm{isol}} L}.
Substituindo:
R_{\mathrm{cond,isol}}=\frac{\ln(0{,}08645/0{,}04445)}{2\pi\cdot 0{,}045\cdot 130}.
Cálculos:
\ln\!\left(\frac{0{,}08645}{0{,}04445}\right)\approx 0{,}66627,\quad 2\pi k_{\mathrm{isol}}L\approx 36{,}7566,
portanto
R_{\mathrm{cond,isol}}\approx 0{,}018129\\ \mathrm{K/W}.
Comentário: aqui está a maior parcela da resistência; o isolante é fino em condutividade, então domina a perda.

Passo 7

Resistência de condução através do material de impermeabilização (entre r_{3} e r_{4}):
R_{\mathrm{cond,mp}}=\frac{\ln(r_{4}/r_{3})}{2\pi k_{\mathrm{mp}} L}.
Substituindo:
R_{\mathrm{cond,mp}}=\frac{\ln(0{,}09145/0{,}08645)}{2\pi\cdot 0{,}82\cdot 130}.
Cálculo:
\ln\!\left(\frac{0{,}09145}{0{,}08645}\right)\approx 0{,}05619,\quad 2\pi k_{\mathrm{mp}}L\approx 669{,}79,
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R_{\mathrm{cond,mp}}\approx 8{,}39\times 10^{-5}\\ \mathrm{K/W}.

Passo 8

Resistência de condução através da chapa de alumínio (entre r_{4} e r_{5}):
R_{\mathrm{cond,ath}}=\frac{\ln(r_{5}/r_{4})}{2\pi k_{\mathrm{ath}} L}.
Substituindo:
R_{\mathrm{cond,ath}}=\frac{\ln(0{,}09345/0{,}09145)}{2\pi\cdot 178\cdot 130}.
Cálculo:
\ln\!\left(\frac{0{,}09345}{0{,}09145}\right)\approx 0{,}02164,\quad 2\pi k_{\mathrm{ath}}L\approx 145{,}394,
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R_{\mathrm{cond,ath}}\approx 1{,}49\times 10^{-7}\\ \mathrm{K/W}.
Comentário: extremamente pequeno, devido à alta condutividade do alumínio.

Passo 9

Resistência de convecção externa (da superfície externa da chapa para o ar ambiente):
R_{\mathrm{conv,o}}=\frac{1}{h_{\mathrm{o}}\;2\pi r_{5} L}.
Substituindo:
R_{\mathrm{conv,o}}=\frac{1}{30\cdot 2\pi\cdot 0{,}09345\cdot 130}.
Cálculos:
2\pi r_{5}L\approx 76{,}3344\\ \mathrm{m^{2}},\quad R_{\mathrm{conv,o}}\approx \frac{1}{30\cdot 76{,}3344}\approx 0{,}0004367\\ \mathrm{K/W}.

Passo 10

Somando todas as resistências para obter R_{\mathrm{tot}}:
\begin{aligned} R_{\mathrm{tot}}&=R_{\mathrm{conv,i}}+R_{\mathrm{cond,ub}}+R_{\mathrm{cond,isol}}+R_{\mathrm{cond,mp}}+R_{\mathrm{cond,ath}}+R_{\mathrm{conv,o}}\\\ &\approx 0{,}0005366 + 0{,}0000014 + 0{,}018129 + 0{,}0000839 + 0{,}00000015 + 0{,}0004367\\\ &\approx 0{,}019188\\ \mathrm{K/W}. \end{aligned}
Agora a expressão para a taxa de calor é
\dot{Q}=\frac{T_{\mathrm{v}}-T_{\infty}}{R_{\mathrm{tot}}}=\frac{220-34}{R_{\mathrm{tot}}}=\frac{186}{R_{\mathrm{tot}}}.
Vou deixar a avaliação numérica final da divisão e a temperatura da superfície externa no campo de resposta final.

Passo 11

Temperatura na superfície externa da chapa expressa em termos de \dot{Q} (para usar após cálculo de \dot{Q}):
T_{\mathrm{s,ext}}=T_{\infty}+\dot{Q}\,R_{\mathrm{conv,o}}=34^{\circ}\mathrm{C}+\dot{Q}\cdot 0{,}0004367\\ \mathrm{K/W}.
Também podemos obter as quedas de temperatura parciais (úteis para checar): queda total T_{\mathrm{v}}-T_{\infty}=186\\ \mathrm{K} e a contribuição de cada resistência é \Delta T_{i}=\dot{Q}\,R_{i}. Usarei essas relações para apresentar os valores numéricos finais na seção de resposta.

Resposta

\dot{Q}=9{,}70\\ \mathrm{kW}
T_{\text{superfície externa}}=38{,}2^{\circ}\mathrm{C}í

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