( 20,0 pontos) Seja considerado um fio de uma resistência elétrica com 6 mm de diâmetro que sera submetido a uma tensão de 220 V e a uma corrente de 32 A . Com o objetivo de intensificar a troca de calor com o ar ambiente durante a operaçăo, o fio será revestido com um material plástico cujas propriedades såo as seguintes:
e
. As propriedades do fio såo as seguintes:
e
. Considerando o coeficiente de convecção externo igual a
e a temperatura do ambiente externo igual a
, determinar a espessura do material plástico de revestimento que resulta na maior transferència de calor do fio para o ar ambiente.
Obs.: (Potência
Tensão × Corrente)
Obs.: (Potência
Passo 1
O enunciado pede: determinar a espessura do revestimento plástico que resulta na maior transferência de calor do fio para o ar ambiente.
Dados fornecidos (coloquei todos em unidades SI):
Dados fornecidos (coloquei todos em unidades SI):
Tensão e corrente:
, então a potência gerada é
Observação: para achar a espessura ótima não precisamos do comprimento do fio nem da distribuição da potência ao longo do comprimento, porque podemos trabalhar com resistências térmicas por unidade de comprimento. A resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Vamos modelar a troca de calor em regime permanente, por unidade de comprimento do fio. O calor gerado no fio deve atravessar o revestimento plástico por condução radial e, na superfície externa do revestimento, ser removido por convecção para o ar. Essas duas etapas são resistências térmicas em série (condução cilíndrica no revestimento + convecção externa).
Fórmulas importantes (explicadas):
- Resistência térmica de condução radial para um casquilho cilíndrico, por unidade de comprimento (unidade: K/(W/m) mas intuímos como K·m/W; usamos por unidade de comprimento):
Aqui
é o raio interno (fio metálico),
é o raio externo do revestimento, e
é a condutividade térmica do plástico. A fórmula vem da solução da equação de calor em coordenadas cilíndricas para fluxo radial estacionário: o fluxo por unidade de comprimento é
, integrar leva ao logaritmo.
- Resistência térmica convectiva por unidade de comprimento na superfície cilíndrica:
Aqui
é o coeficiente de convecção externa e
é a área lateral por unidade de comprimento.
- A resistência térmica total por unidade de comprimento é a soma:
Nossa tarefa é escolher
(ou, equivalentemente, a espessura
) que minimize
. Minimizar a resistência máxima é equivalente a maximizar a transferência de calor para dado fluxo térmico.
Passo 3
Escrevemos explicitamente a função a minimizar:
Repare que
e os parâmetros
são constantes conhecidos; a variável é
(com a restrição física
).
Passo 4
Para encontrar o mínimo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero (condição necessária). Derivada:
Igualando a zero:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Assim a condição ótima é simples:
Interpretação física: o raio externo ótimo é a razão entre a condutividade do revestimento e o coeficiente convectivo externo. É um resultado elegante que equilibra aumento de área (favorece
maior) e aumento da resistência de condução (favorece
menor).
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos:
Lembrando
, a espessura ótima é
Em unidades SI:
Passo 6
Verificação rápida de que é mínimo: compute a segunda derivada
Substituindo a condição ótima
mostra-se (fazendo substituições) que a segunda derivada é positiva, portanto é de fato um mínimo. (Intuição: para
muito pequeno a convecção é ruim; para
muito grande a condução através do plástico domina — existe um balanço.)