( 20,0 pontos) Seja considerado um fio de uma resistência elétrica com 6 mm de diâmetro que sera submetido a uma tensão de 220 V e a uma corrente de 32 A . Com o objetivo de intensificar a troca de calor com o ar ambiente durante a operaçăo, o fio será revestido com um material plástico cujas propriedades såo as seguintes: \mathrm{k}_{\mathrm{rev}}=0,064 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, \quad \rho_{\mathrm{rec}}=1100 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{c}_{\mathrm{p}, \mathrm{re}}=1500 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}. As propriedades do fio såo as seguintes: \mathrm{k} r=21 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, \rho_{\mathrm{r}}=7900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{c}_{\mathrm{p}, \mathrm{r}}=500 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}. Considerando o coeficiente de convecção externo igual a \mathrm{h}_{\mathrm{ou}}=16,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e a temperatura do ambiente externo igual a 25^{\circ} \mathrm{C}, determinar a espessura do material plástico de revestimento que resulta na maior transferència de calor do fio para o ar ambiente.
Obs.: (Potência = Tensão × Corrente)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a espessura do revestimento plástico que resulta na maior transferência de calor do fio para o ar ambiente.
Dados fornecidos (coloquei todos em unidades SI):
\text{diâmetro do fio } = 6\\ \mathrm{mm} \Rightarrow r_{1}= \frac{6\\ \mathrm{mm}}{2}=3\\ \mathrm{mm}=0{,}003\\ \mathrm{m}â
\mathrm{k}_{\mathrm{rev}}=0{,}064\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\quad \rho_{\mathrm{rev}}=1100\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad c_{p,\mathrm{rev}}=1500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
\mathrm{k}_{\mathrm{r}}=21\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\quad \rho_{\mathrm{r}}=7900\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad c_{p,\mathrm{r}}=500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
h_{\mathrm{out}}=16{,}0\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)},\quad T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}
Tensão e corrente: \,V=220\\ \mathrm{V},\\ I=32\\ \mathrm{A}, então a potência gerada é
P=V\cdot I=220\cdot 32=7040\\ \mathrm{W}.
Observação: para achar a espessura ótima não precisamos do comprimento do fio nem da distribuição da potência ao longo do comprimento, porque podemos trabalhar com resistências térmicas por unidade de comprimento. A resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Vamos modelar a troca de calor em regime permanente, por unidade de comprimento do fio. O calor gerado no fio deve atravessar o revestimento plástico por condução radial e, na superfície externa do revestimento, ser removido por convecção para o ar. Essas duas etapas são resistências térmicas em série (condução cilíndrica no revestimento + convecção externa).
Fórmulas importantes (explicadas):
  • Resistência térmica de condução radial para um casquilho cilíndrico, por unidade de comprimento (unidade: K/(W/m) mas intuímos como K·m/W; usamos por unidade de comprimento):
R_{\text{cond}}'=\frac{1}{2\pi k_{\mathrm{rev}}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right).
Aqui r_{1} é o raio interno (fio metálico), r_{2} é o raio externo do revestimento, e k_{\mathrm{rev}} é a condutividade térmica do plástico. A fórmula vem da solução da equação de calor em coordenadas cilíndricas para fluxo radial estacionário: o fluxo por unidade de comprimento é q'=-2\pi k r\, dT/dr, integrar leva ao logaritmo.
  • Resistência térmica convectiva por unidade de comprimento na superfície cilíndrica:
R_{\text{conv}}'=\frac{1}{h_{\mathrm{out}}\cdot 2\pi r_{2}}.
Aqui h_{\mathrm{out}} é o coeficiente de convecção externa e 2\pi r_{2} é a área lateral por unidade de comprimento.
  • A resistência térmica total por unidade de comprimento é a soma:
R_{\text{tot}}'(r_{2})=R_{\text{cond}}'+R_{\text{conv}}' =\frac{1}{2\pi k_{\mathrm{rev}}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)+\frac{1}{2\pi h_{\mathrm{out}} r_{2}}.
Nossa tarefa é escolher r_{2} (ou, equivalentemente, a espessura t=r_{2}-r_{1}) que minimize R_{\text{tot}}'(r_{2}). Minimizar a resistência máxima é equivalente a maximizar a transferência de calor para dado fluxo térmico.

Passo 3

Escrevemos explicitamente a função a minimizar:
R_{\text{tot}}'(r_{2})=\frac{1}{2\pi k_{\mathrm{rev}}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)+\frac{1}{2\pi h_{\mathrm{out}} r_{2}}.
Repare que r_{1} e os parâmetros k_{\mathrm{rev}},h_{\mathrm{out}} são constantes conhecidos; a variável é r_{2} (com a restrição física r_{2}>r_{1}).

Passo 4

Para encontrar o mínimo, derivamos R_{\text{tot}}' em relação a r_{2} e igualamos a zero (condição necessária). Derivada:
\frac{dR_{\text{tot}}'}{dr_{2}}=\frac{1}{2\pi k_{\mathrm{rev}}}\cdot\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{2\pi h_{\mathrm{out}}}\cdot\frac{1}{r_{2}^{2}}.
Igualando a zero:
\frac{1}{2\pi k_{\mathrm{rev}}}\cdot\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{2\pi h_{\mathrm{out}}}\cdot\frac{1}{r_{2}^{2}}=0.
Multiplicando ambos os lados por 2\pi r_{2}^{2} obtemos
\frac{r_{2}}{k_{\mathrm{rev}}}-\frac{1}{h_{\mathrm{out}}}=0.
Assim a condição ótima é simples:
r_{2,\text{opt}}=\frac{k_{\mathrm{rev}}}{h_{\mathrm{out}}}.
Interpretação física: o raio externo ótimo é a razão entre a condutividade do revestimento e o coeficiente convectivo externo. É um resultado elegante que equilibra aumento de área (favorece r_{2} maior) e aumento da resistência de condução (favorece r_{2} menor).

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos:
r_{2,\text{opt}}=\frac{k_{\mathrm{rev}}}{h_{\mathrm{out}}}=\frac{0{,}064\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}}{16{,}0\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}}=0{,}004\\ \mathrm{m}=4\\ \mathrm{mm}.
Lembrando r_{1}=3\\ \mathrm{mm}, a espessura ótima é
t_{\text{opt}}=r_{2,\text{opt}}-r_{1}=4\\ \mathrm{mm}-3\\ \mathrm{mm}=1\\ \mathrm{mm}.
Em unidades SI:
t_{\text{opt}}=0{,}001\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação rápida de que é mínimo: compute a segunda derivada
\frac{d^{2}R_{\text{tot}}'}{dr_{2}^{2}}=-\frac{1}{2\pi k_{\mathrm{rev}}}\cdot\frac{1}{r_{2}^{2}}+\frac{2}{2\pi h_{\mathrm{out}}}\cdot\frac{1}{r_{2}^{3}}.
Substituindo a condição ótima r_{2}=k_{\mathrm{rev}}/h_{\mathrm{out}} mostra-se (fazendo substituições) que a segunda derivada é positiva, portanto é de fato um mínimo. (Intuição: para r_{2} muito pequeno a convecção é ruim; para r_{2} muito grande a condução através do plástico domina — existe um balanço.)

Resposta

t_{\text{opt}}=1{,}0\\ \mathrm{mm} = 0{,}001\\ \mathrm{m}

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