(20 Pontos)
Seja a superfície definida pelo vetor de posição \mathbf{r}=(x, y, z) \operatorname{com} z=x^{2}+x y+y^{2}. Sendo x=s+t e y=s t, calcular as derivadas \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} e \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} para o ponto definido por s=1, t=0. Calcular a equação do plano tangente à esta superfície neste mesmo ponto.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas no ponto dado por s=1,\\ t=0:
  • Calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} e \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}.
  • Determinar a equação do plano tangente à superfície nesse mesmo ponto.
Informações dadas:
  • Vetor posição da superfície: \mathbf{r}=(x,y,z) com z=x^{2}+x y+y^{2}.
  • Parametrização: x=s+t e y=s t.
  • Avaliar tudo em s=1,\\ t=0.

Passo 2

Primeiro calcule as derivadas parciais de x e y em relação a s e t, e os valores de x,y,z no ponto:
\frac{\partial x}{\partial s}=1,\qquad \frac{\partial x}{\partial t}=1,
\frac{\partial y}{\partial s}=t,\qquad \frac{\partial y}{\partial t}=s.
No ponto (s,t)=(1,0) temos:
x(1,0)=1+0=1,\qquad y(1,0)=1\cdot0=0,
\frac{\partial x}{\partial s}\Big|_{(1,0)}=1,\qquad \frac{\partial x}{\partial t}\Big|_{(1,0)}=1,
\frac{\partial y}{\partial s}\Big|_{(1,0)}=0,\qquad \frac{\partial y}{\partial t}\Big|_{(1,0)}=1.
Calcule também z no ponto:
z(1,0)=x^{2}+xy+y^{2}=1^{2}+1\cdot0+0^{2}=1.

Passo 3

Agora vamos obter as componentes z_s e z_t usando a regra da cadeia. A ideia: \mathbf{r}=(x,y,z(x,y)), então
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s}=\Big(\frac{\partial x}{\partial s},\\ \frac{\partial y}{\partial s},\\ \frac{\partial z}{\partial s}\Big), \qquad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}=\Big(\frac{\partial x}{\partial t},\\ \frac{\partial y}{\partial t},\\ \frac{\partial z}{\partial t}\Big).
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial s}=z_x\,x_s+z_y\,y_s,\qquad \frac{\partial z}{\partial t}=z_x\,x_t+z_y\,y_t,
onde z_x=\dfrac{\partial z}{\partial x} e z_y=\dfrac{\partial z}{\partial y}. Calcule z_x e z_y:
z_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+xy+y^{2})=2x+y, \qquad z_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+xy+y^{2})=x+2y.
Avalie z_x e z_y no ponto (x,y)=(1,0):
z_x(1,0)=2\cdot1+0=2,\qquad z_y(1,0)=1+2\cdot0=1.

Passo 4

Use os valores encontrados para calcular \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} e \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} no ponto:
\frac{\partial z}{\partial s}\Big|_{(1,0)}=z_x(1,0)\cdot x_s(1,0)+z_y(1,0)\cdot y_s(1,0)=2\cdot1+1\cdot0=2,
\frac{\partial z}{\partial t}\Big|_{(1,0)}=z_x(1,0)\cdot x_t(1,0)+z_y(1,0)\cdot y_t(1,0)=2\cdot1+1\cdot1=3.
Portanto, os vetores tangentes são
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s}\Big|_{(1,0)}=(1,\,0,\,2), \qquad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\Big|_{(1,0)}=(1,\,1,\,3).

Passo 5

Para obter o plano tangente usamos um vetor normal obtido pelo produto vetorial entre os dois vetores tangentes:
\mathbf{n}=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} =(1,0,2)\times(1,1,3).
Calcule o produto vetorial (determinante):
\mathbf{n}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} =(-2,\,-1,\,1).
Podemos multiplicar por -1 se preferir um normal com sinais trocados: \mathbf{n}=(2,1,-1). O ponto de tangência é P=(x,y,z)=(1,0,1).

Passo 6

Equação do plano tangente: \mathbf{n}\cdot(\,(X,Y,Z)-P\,)=0. Usando \mathbf{n}=(2,1,-1) e P=(1,0,1),
2(X-1)+1(Y-0)-1(Z-1)=0.
Desenvolvendo:
2X-2+Y-Z+1=0 \quad\Longrightarrow\quad 2X+Y-Z-1=0.
Isolando Z obtém-se a forma explícita:
Z=2X+Y-1.

Resposta

\dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial s}\big|_{(1,0)}=(1,\,0,\,2),\quad \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\big|_{(1,0)}=(1,\,1,\,3)
Equação do plano tangente: 2X+Y-Z-1=0

Exercícios relacionados