(20 Pontos)
Seja a superfície definida pelo vetor de posição \mathbf{r}=(x, y, z) \operatorname{com} z=x^{2}+x y+y^{2}. Sendo x=s+t e y=s t, calcular as derivadas \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} e \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} para o ponto definido por s=1, t=0. Calcular a equação do plano tangente à esta superfície neste mesmo ponto.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas no ponto dado por s=1,\\ t=0:
Calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} e \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}.
Determinar a equação do plano tangente à superfície nesse mesmo ponto.
Informações dadas:
Vetor posição da superfície: \mathbf{r}=(x,y,z) com z=x^{2}+x y+y^{2}.
Parametrização: x=s+t e y=s t.
Avaliar tudo em s=1,\\ t=0.
Passo 2
Primeiro calcule as derivadas parciais de x e y em relação a s e t, e os valores de x,y,z no ponto: