Seja o escoamento de um fluido de densidade \rho=1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} definido pelo campo de velocidades \mathbf{v}(x, y, z)=y^{2} z^{3} \mathbf{i}+2 x y z^{3} \mathbf{j}+3 x y^{2} z^{2} \mathbf{k} \mathrm{~ms}^{-1}.
Este escoamento é irrotacional?

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades e pergunta se o escoamento é irrotacional.
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
  • Densidade: \rho=1\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}} (não é necessária para a verificação de irrotacionalidade).
  • Campo de velocidades:
\mathbf{v}(x,y,z)=y^{2}z^{3}\,\mathbf{i}+2xyz^{3}\,\mathbf{j}+3xy^{2}z^{2}\,\mathbf{k}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Pergunta que precisamos responder:
  • O escoamento é irrotacional?

Passo 2

O que significa “irrotacional” e como verificar isso (mini-aula): em fluidos, o campo de vorticidade é o rotacional (curl) do campo de velocidades. Definimos
\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{v},
onde \boldsymbol{\omega} é a vorticidade. O escoamento é irrotacional se, e somente se, \boldsymbol{\omega}=\mathbf{0} em todo o domínio. Em coordenadas cartesianas, se \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), os componentes do rotacional são
\omega_x=\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}, \qquad \omega_y=\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}, \qquad \omega_z=\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}.
Vamos calcular essas derivadas passo a passo para o campo dado.

Passo 3

Identificar as componentes do campo:
v_x=y^{2}z^{3},\qquad v_y=2xyz^{3},\qquad v_z=3xy^{2}z^{2}.
Calcular as derivadas necessárias para \omega_x:
\frac{\partial v_z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3xy^{2}z^{2}\big)=3x\cdot 2y\cdot z^{2}=6xyz^{2},
\frac{\partial v_y}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(2xyz^{3}\big)=2xy\cdot 3z^{2}=6xyz^{2}.
Agora o componente \omega_x:
\omega_x=\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}=6xyz^{2}-6xyz^{2}=0.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias para \omega_y:
\frac{\partial v_x}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(y^{2}z^{3}\big)=y^{2}\cdot 3z^{2}=3y^{2}z^{2},
\frac{\partial v_z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(3xy^{2}z^{2}\big)=3y^{2}z^{2}.
Agora o componente \omega_y:
\omega_y=\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}=3y^{2}z^{2}-3y^{2}z^{2}=0.

Passo 5

Calcular as derivadas necessárias para \omega_z:
\frac{\partial v_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2xyz^{3}\big)=2y z^{3},
\frac{\partial v_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}z^{3}\big)=2y z^{3}.
Agora o componente \omega_z:
\omega_z=\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}=2y z^{3}-2y z^{3}=0.

Passo 6

Conclusão dos cálculos: todos os três componentes da vorticidade são zero, portanto
\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{v}=\mathbf{0}
em todo o espaço onde o campo está definido. Isso significa que o escoamento é irrotacional.

Passo 7

Comentário adicional (útil para a prova): outra forma de ver que um campo é irrotacional é mostrar que ele é gradiente de um potencial escalar \varphi (campo conservativo). Se existirem \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{v}, então \nabla\times\mathbf{v}=0. No caso dado, uma integração rápida dá
\varphi(x,y,z)=x y^{2} z^{3}+C,
pois \partial\varphi/\partial x=y^{2}z^{3}, \partial\varphi/\partial y=2xyz^{3} e \partial\varphi/\partial z=3xy^{2}z^{2}. Isso confirma de forma construtiva que o campo é conservativo e, portanto, irrotacional.

Resposta

Sim. O escoamento é irrotacional, pois \nabla\times\mathbf{v}=\mathbf{0} em todo o domínio.

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