Seja o escoamento de um fluido de densidade
definido pelo campo de velocidades
.
Este escoamento é irrotacional?
Este escoamento é irrotacional?
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidades e pergunta se o escoamento é irrotacional.
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
- Densidade:
(não é necessária para a verificação de irrotacionalidade). - Campo de velocidades:
Pergunta que precisamos responder:
- O escoamento é irrotacional?
Passo 2
O que significa “irrotacional” e como verificar isso (mini-aula): em fluidos, o campo de vorticidade é o rotacional (curl) do campo de velocidades. Definimos
onde
é a vorticidade. O escoamento é irrotacional se, e somente se,
em todo o domínio. Em coordenadas cartesianas, se
, os componentes do rotacional são
Vamos calcular essas derivadas passo a passo para o campo dado.
Passo 3
Identificar as componentes do campo:
Calcular as derivadas necessárias para
:
Agora o componente
:
Passo 4
Calcular as derivadas necessárias para
:
Agora o componente
:
Passo 5
Calcular as derivadas necessárias para
:
Agora o componente
:
Passo 6
Conclusão dos cálculos: todos os três componentes da vorticidade são zero, portanto
em todo o espaço onde o campo está definido. Isso significa que o escoamento é irrotacional.
Passo 7
Comentário adicional (útil para a prova): outra forma de ver que um campo é irrotacional é mostrar que ele é gradiente de um potencial escalar
(campo conservativo). Se existirem
tal que
, então
. No caso dado, uma integração rápida dá
pois
,
e
. Isso confirma de forma construtiva que o campo é conservativo e, portanto, irrotacional.
Resposta
Sim. O escoamento é irrotacional, pois
em todo o domínio.