Determine os limites infinitos:
lim x -4 4+2 x(x+4)^2.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto -44+2x(x+4)^2
O conteúdo aqui é análise de limites infinitos em pontos onde o denominador zera. Vamos estudar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando x se aproxima de -4.

Passo 2

Analise do numerador:
4+2x xrightarrow[xto -4] 4+2(-4) = -4,
ou seja, o numerador tende a uma constante negativa e NÃO se anula.

Passo 3

Analise do denominador:
(x+4)^2xrightarrow[xto -4]0,
e, como é um quadrado, (x+4)^2 é sempre positivo para xneq -4. Logo, à medida que x se aproxima de -4 pela esquerda ou pela direita, o denominador é um número pequeno e positivo.

Passo 4

Como o numerador tende a -4 (constante negativa) e o denominador tende a 0^+, a fração
4+2x(x+4)^2
fica com sinal negativo e módulo crescendo sem limite. Portanto, tanto à direita quanto à esquerda de -4, o valor da expressão tende a -infty.

Resposta

limxto -44+2x(x+4)^2 = -infty

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