( 20 pontos) Suponha que y=f(x) seja uma função implícita definida a partir da relação x^3+ y^3-9 x y=0. Determine uma fórmula para f^prime(x) e a aproximação linear de f(x) em torno de x=4. Note que (4,2) verifica a relação logo acima explicitada.

Passo 1

O enunciado define y=f(x) implicitamente pela relação
x^3 + y^3 - 9xy = 0,
e pede dois itens: (i) uma fórmula para a derivada f'(x) usando diferenciação implícita; (ii) a aproximação linear de f(x) em torno de x=4, sabendo que f(4)=2.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados de
x^3 + y^3 - 9xy = 0
em relação a x. Usando ddx[x^3] = 3x^2, ddx[y^3] = 3y^2y' e ddx[9xy] = 9l(x,y' + yr), obtemos
3x^2 + 3y^2y' - 9l(x,y' + yr) = 0

Passo 3

Agrupamos os termos que contêm y' de um lado:
3y^2y' - 9x,y' = 9y - 3x^2
Fatorando y',
y'l(3y^2 - 9xr) = 9y - 3x^2,
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y' = 9y - 3x^23y^2 - 9x = 3,(3y - x^2)3,(y^2 - 3x) = 3y - x^2y^2 - 3x
Como y=f(x), temos a fórmula
f'(x) = 3,f(x) - x^2f(x)^2 - 3x

Passo 4

Para a aproximação linear em torno de x0=4, precisamos de f(4)=2 e de
f'(4) = 3y - x^2y^2 - 3x,|(x,y)=(4,2) = 3cdot 2 - 4^22^2 - 3cdot 4 = 6 - 164 - 12 = -10-8 = 54

Passo 5

A aproximação linear (reta tangente) é dada por
L(x) = f(4) + f'(4),(x - 4) = 2 + 54,(x - 4)

Resposta

Fórmula da derivada:
f'(x) = 3,f(x) - x^2f(x)^2 - 3x
Aproximação linear em torno de x=4:
L(x) = 2 + 54,(x - 4)

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