( 20 pontos) Suponha que seja uma função implícita definida a partir da relação . Determine uma fórmula para e a aproximação linear de em torno de . Note que verifica a relação logo acima explicitada.
Passo 1
O enunciado define implicitamente pela relação
e pede dois itens: (i) uma fórmula para a derivada usando diferenciação implícita; (ii) a aproximação linear de em torno de , sabendo que .
Passo 2
Diferenciamos ambos os lados de
em relação a . Usando , e , obtemos
Passo 3
Agrupamos os termos que contêm de um lado:
Fatorando ,
logo
Como , temos a fórmula
Passo 4
Para a aproximação linear em torno de , precisamos de e de