Verifique em cada caso que as funções y1 e y2 formam um sistema fundamental de soluções da equação diferencial homogêne correspondente, e determine a solução geral da equação diferencial não-homogênea.
y^prime prime-2t y^prime+2t^2 y=t ln t, com y1=t e y2=t^2, para t>0.

Passo 1

O enunciado pede verificar que as funções
y1(t)=t, y2(t)=t^2
formam um sistema fundamental de soluções da equação diferencial homogênea
y'' - 2ty' + 2t^2y = 0
em t>0, e então determinar a solução geral da equação não-homogênea
y'' - 2ty' + 2t^2y = tln t
O conteúdo envolve EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis e o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Para y1(t)=t temos
y1' = 1, y1'' = 0,
então
y1'' - 2ty1' + 2t^2y1 = 0 - 2tcdot1 + 2t^2cdot t = -2t + 2t =0
Para y2(t)=t^2 temos
y2' = 2t, y2'' = 2,
e
y2'' - 2ty2' + 2t^2y2 = 2 - 2tcdot(2t) + 2t^2cdot t^2 = 2 - 4 + 2 =0
O Wronskiano é
W(t)=t & t^21 & 2t =2t^2 - t^2 = t^2,
e como t>0 temos W(t)neq0. Logo y1,y2 são linearmente independentes e formam sistema fundamental.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular da equação
y'' - 2ty' + 2t^2y = tln t
usamos variação de parâmetros. As fórmulas são
u1' = -y2,g(t)W(t), u2' = y1,g(t)W(t),
onde g(t)=tln t é o termo não-homogêneo.

Passo 4

Substituindo y1=t, y2=t^2, W(t)=t^2 e g(t)=tln t:
u1' = -t^2cdot tln tt^2 = -,tln t, u2' = tcdot tln tt^2 = ln t
Integramos:
u1 = integral -,tln t,dt = -l(t^22ln t - t^24r) = -t^22ln t + t^24,
u2 = integral ln t,dt = tln t - t

Passo 5

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = l(-t^22ln t + t^24r)t + (tln t - t),t^2 = 12,t^3ln t - 34,t^3
Portanto, a solução geral da equação não-homogênea é
y(t) = C1,t + C2,t^2 + 12,t^3ln t - 34,t^3,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = C1,t + C2,t^2 + 12,t^3ln t - 34,t^3

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