Verifique em cada caso que as funções y1 e y2 formam um sistema fundamental de soluções da equação diferencial homogêne correspondente, e determine a solução geral da equação diferencial não-homogênea.
t^2 y^prime prime-t y^prime+y=t, com y1=t e y2=t ln t, para t>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
;t^2y''-t,y'+y=t, t>0
e duas soluções do homogêneo
;y1(t)=t, y2(t)=tln t
Queremos (a) verificar que y1,y2 é um sistema fundamental e (b) usar variação de parâmetros para achar a solução geral do não-homogêneo.

Passo 2

Escrevemos a equação em forma padrão
;y''+p(t),y'+q(t),y=r(t)
dividindo tudo por t^2:
y''-1ty'+1t^2y=1t
Aqui
;p(t)=-tfrac1t,;q(t)=tfrac1t^2,;r(t)=tfrac1t

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y1 e y2:
W(t)= y1 & y2[6pt] y1' & y2' = t & tln t[4pt] 1 & ln t+1 = t(ln t+1)-tln t = t neq 0 (forall t > 0)
Logo y1,y2 é fundamental.]

Passo 4

Pela variação de parâmetros, buscamos
yp=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t),
com
u1'=-r,y2W ,, u2'= r,y1W
Substituindo r=tfrac1t, y1=t, y2=tln t, W=t:
u1'=-1/tcdot tln tt=-ln tt, u2'=1/tcdot tt=1t
Integramos:
u1(t)=-integralln tt,dt=-tfrac12(ln t)^2, u2(t)=integral1t,dt=ln t

Passo 5

O particular é
yp =u1y1+u2y2 =-tfrac12(ln t)^2,t +(ln t),(tln t) =tfrac12,t(ln t)^2
Logo a solução geral do não-homogêneo fica
y(t)=C1,t+C2,tln t+tfrac12,t(ln t)^2

Resposta

y(t)=C1,t+C2,tln t+12,t(ln t)^2

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