Verifique em cada caso que as funções e formam um sistema fundamental de soluções da equação diferencial homogêne correspondente, e determine a solução geral da equação diferencial não-homogênea. , com e , para .
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e duas soluções do homogêneo
Queremos (a) verificar que é um sistema fundamental e (b) usar variação de parâmetros para achar a solução geral do não-homogêneo.
Passo 2
Escrevemos a equação em forma padrão
dividindo tudo por :
Aqui
Passo 3
Calculamos o Wronskiano de e :
Logo y1,y2 é fundamental.]
Passo 4
Pela variação de parâmetros, buscamos
yp=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t),
com
u1'=-r,y2W ,, u2'= r,y1W
Substituindo r=tfrac1t, y1=t, y2=tln t, W=t:
u1'=-1/tcdot tln tt=-ln tt, u2'=1/tcdot tt=1t
Integramos:
u1(t)=-integralln tt,dt=-tfrac12(ln t)^2, u2(t)=integral1t,dt=ln t