[20 pontos] Vai ser conduzida uma experiência para determinar a proporção de moscas Drosophila com uma certa mutação. Essa população é constituída por 50.000 de moscas, das quais foram selecionadas aleatoriamente 400, sendo que 328 não apresentavam a mutação.
a. [10 pontos] Construa um intervalo conservador de
confiança para proporção populacional de moscas com mutação:
b. [10 pontos] Se quisermos manter a mesma amplitude do intervalo construído em (a) mas elevar a confiança de
para
(abordagem otimista), de quanto deverá ser o tamanho mínimo da amostra?
a. [10 pontos] Construa um intervalo conservador de
b. [10 pontos] Se quisermos manter a mesma amplitude do intervalo construído em (a) mas elevar a confiança de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- População total:
. - Tamanho da amostra:
. - Da amostra,
não apresentavam a mutação. Então o número com mutação é . - Proporção amostral observada:
.
O enunciado pede:
(a) Construir um intervalo conservador de de confiança para a proporção populacional de moscas com mutação.
(b) Mantendo a mesma amplitude do intervalo de (a) mas aumentando a confiança de para
usando uma “abordagem otimista”, encontrar o tamanho mínimo de amostra necessário.
(a) Construir um intervalo conservador de
(b) Mantendo a mesma amplitude do intervalo de (a) mas aumentando a confiança de
Passo 2
Calcular a proporção amostral e anotar os números que usaremos.
Aqui
é a estimativa pontual da proporção de moscas com mutação na população.
Passo 3
Explicar o que é um “intervalo conservador” para proporção e a fórmula que vamos usar.
- Um intervalo conservador para proporção usa a aproximação normal (aproximação de Wald) mas substitui a variância amostral
pelo valor máximo possível . Isso dá um intervalo mais largo (mais “conservador”) que garante cobertura mesmo se estivesse distante do pior caso. - Fórmula do intervalo conservador de nível de confiança
:
Onde:
-
é a proporção amostral, -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a cauda superior tem área , -
é o tamanho da amostra. - A raiz vem de
substituindo por o máximo .
Passo 4
Aplicar a fórmula para nível de confiança
. Para
temos
e
. O quantil correspondente é
Calcular o erro máximo (meia-amplitude) usando a aproximação conservadora:
Calculemos passo a passo:
Então
O intervalo conservador de
é
Portanto os limites são
Passo 5
Interpretação curta (para a prova): o intervalo conservador de
para a proporção de moscas com mutação é aproximadamente
. Esse intervalo é “conservador” porque usamos a variância máxima
; é mais largo que o intervalo que usaria
.
Passo 6
Agora parte (b). Queremos manter a mesma amplitude do intervalo de (a) mas aumentar a confiança para
. “Manter a mesma amplitude” significa manter a mesma meia-amplitude (erro)
que obtivemos em (a). A “abordagem otimista” indica que, para calcular o tamanho de amostra necessário, usaremos a estimativa observada
(em vez do caso conservador
), o que tende a dar um
menor.
A fórmula para a meia-amplitude
(erro) de um intervalo de proporção usando a aproximação normal é
Isolando
:
Aqui usaremos
aproximado por
(abordagem otimista) e
(meia-amplitude de (a)). Para
de confiança,
e
, logo
Passo 7
Substituir números na fórmula e calcular
.
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Agora
Como
deve ser inteiro e para garantir a precisão devemos arredondar para cima, tomamos
Passo 8
Observações finais sobre a resposta de (b):
- Poderíamos também ter usado a abordagem conservadora (substituir
por ); isso daria um maior. Como o enunciado pediu “abordagem otimista”, usamos . - A correção para população finita (FPC) poderia ser aplicada porque
é conhecido; porém a fração amostral resultante é muito pequena (<5%), então a FPC é desprezível e não muda o resultado prático.