[20 pontos] Vai ser conduzida uma experiência para determinar a proporção de moscas Drosophila com uma certa mutação. Essa população é constituída por 50.000 de moscas, das quais foram selecionadas aleatoriamente 400, sendo que 328 não apresentavam a mutação.
a. [10 pontos] Construa um intervalo conservador de 90 \% confiança para proporção populacional de moscas com mutação:
b. [10 pontos] Se quisermos manter a mesma amplitude do intervalo construído em (a) mas elevar a confiança de 90 \% para 95 \% (abordagem otimista), de quanto deverá ser o tamanho mínimo da amostra?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • População total: N=50.000.
  • Tamanho da amostra: n=400.
  • Da amostra, 328 não apresentavam a mutação. Então o número com mutação é x=400-328=72.
  • Proporção amostral observada: \hat{p}=\dfrac{72}{400}.
O enunciado pede:
(a) Construir um intervalo conservador de 90\% de confiança para a proporção populacional de moscas com mutação.
(b) Mantendo a mesma amplitude do intervalo de (a) mas aumentando a confiança de 90\% para 95\% usando uma “abordagem otimista”, encontrar o tamanho mínimo de amostra necessário.

Passo 2

Calcular a proporção amostral e anotar os números que usaremos.
\hat{p}=\frac{72}{400}=0,18.
Aqui \hat{p} é a estimativa pontual da proporção de moscas com mutação na população.

Passo 3

Explicar o que é um “intervalo conservador” para proporção e a fórmula que vamos usar.
  • Um intervalo conservador para proporção usa a aproximação normal (aproximação de Wald) mas substitui a variância amostral \hat{p}(1-\hat{p}) pelo valor máximo possível 1/4. Isso dá um intervalo mais largo (mais “conservador”) que garante cobertura mesmo se \hat{p} estivesse distante do pior caso.
  • Fórmula do intervalo conservador de nível de confiança 1-\alpha:
\hat{p}\pm z_{\,\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{4n}}.
Onde:
  • \hat{p} é a proporção amostral,
  • z_{\,\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a cauda superior tem área \alpha/2,
  • n é o tamanho da amostra.
  • A raiz vem de \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} substituindo p(1-p) por o máximo 1/4.

Passo 4

Aplicar a fórmula para nível de confiança 90\%. Para 90\% temos \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05. O quantil correspondente é
z_{0,05}=1,645.
Calcular o erro máximo (meia-amplitude) usando a aproximação conservadora:
\text{erro}=z_{0,05}\sqrt{\frac{1}{4n}}=1,645\sqrt{\frac{1}{4\cdot 400}}.
Calculemos passo a passo:
\sqrt{\frac{1}{4\cdot 400}}=\sqrt{\frac{1}{1600}}=\frac{1}{40}=0,025.
Então
\text{erro}=1,645\cdot 0,025=0,041125.
O intervalo conservador de 90\% é
\hat{p}\pm \text{erro}=0,18\pm 0,041125.
Portanto os limites são
\text{limite inferior}=0,18-0,041125=0,138875\approx 0,1389,
\text{limite superior}=0,18+0,041125=0,221125\approx 0,2211.

Passo 5

Interpretação curta (para a prova): o intervalo conservador de 90\% para a proporção de moscas com mutação é aproximadamente \bigl(0,1389;\;0,2211\bigr). Esse intervalo é “conservador” porque usamos a variância máxima 1/4; é mais largo que o intervalo que usaria \hat{p}(1-\hat{p}).

Passo 6

Agora parte (b). Queremos manter a mesma amplitude do intervalo de (a) mas aumentar a confiança para 95\%. “Manter a mesma amplitude” significa manter a mesma meia-amplitude (erro) \text{erro}=0,041125 que obtivemos em (a). A “abordagem otimista” indica que, para calcular o tamanho de amostra necessário, usaremos a estimativa observada \hat{p} (em vez do caso conservador 1/2), o que tende a dar um n menor.
A fórmula para a meia-amplitude E (erro) de um intervalo de proporção usando a aproximação normal é
E=z_{\,\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
Isolando n:
n=\frac{z_{\,\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}.
Aqui usaremos p aproximado por \hat{p}=0,18 (abordagem otimista) e E=0,041125 (meia-amplitude de (a)). Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025, logo
z_{0,025}=1,96.

Passo 7

Substituir números na fórmula e calcular n.
Calcular p(1-p):
p(1-p)=0,18\cdot 0,82=0,1476.
Calcular z^{2}p(1-p):
1,96^{2}\cdot 0,1476=3,8416\cdot 0,1476\approx 0,56702016.
Calcular E^{2}:
E^{2}=0,041125^{2}=0,001691265625.
Agora
n=\frac{0,56702016}{0,001691265625}\approx 335,24.
Como n deve ser inteiro e para garantir a precisão devemos arredondar para cima, tomamos
n_{\min}=336.

Passo 8

Observações finais sobre a resposta de (b):
  • Poderíamos também ter usado a abordagem conservadora (substituir p(1-p) por 1/4); isso daria um n maior. Como o enunciado pediu “abordagem otimista”, usamos \hat{p}=0,18.
  • A correção para população finita (FPC) poderia ser aplicada porque N é conhecido; porém a fração amostral resultante 336/50.000\approx 0,0067 é muito pequena (<5%), então a FPC é desprezível e não muda o resultado prático.

Resposta

\bigl(0,1389;\;0,2211\bigr)
n_{\min}=336

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