[30 pontos] Uma propaganda de uma certa marca de cigarros afirma que não há mais do que 18 mg de nicotina por cigarro, em média. Sabendo que a concentração de nicotina em cigarros segue uma distribuição normal foi feito um teste com 18 cigarros no qual obteve-se uma média de
de nicotina, e desvio padrão de
. Você acha que a afirmação é verdadeira, considere um nível de significância de 5% e:
a. [7,5 pontos] Descreva as hipóteses a serem testadas:
b. [7,5 pontos] Defina a região de rejeição:
c. [7,5 pontos] Encontre o p-valor:
d. [7,5 pontos] A afirmação é verdadeira? Justifique sua resposta.
a. [7,5 pontos] Descreva as hipóteses a serem testadas:
b. [7,5 pontos] Defina a região de rejeição:
c. [7,5 pontos] Encontre o p-valor:
d. [7,5 pontos] A afirmação é verdadeira? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que respondamos quatro pontos (a–d):
- Amostra de
cigarros. - Média amostral de nicotina
. - Desvio padrão amostral
. - Suposição: concentração segue uma distribuição normal.
- Nível de significância
. - Perguntas:
(a) listar as hipóteses a testar;
(b) definir a região de rejeição;
(c) calcular o-valor;
(d) decidir se a afirmação da propaganda (que não há mais do queem média) é verdadeira, com justificativa.
Passo 2
Escolha do teste e por quê (explicação didática, passo a passo).
- O que queremos testar é a média populacional
(a média verdadeira de nicotina por cigarro). - A propaganda diz que “não há mais do que
em média”, isto é uma afirmação do tipo . Para verificar se essa afirmação é plausível usamos um teste de hipóteses para a média. - Como a variância populacional não foi dada e a amostra é pequena (
), devemos usar o teste t de Student (teste t para uma amostra). O teste t é adequado quando a população é (aproximadamente) normal e o desvio padrão populacional é desconhecido — então substituímos pelo desvio amostral e usamos a distribuição t com graus de liberdade. - A estatística de teste (t) é dada por:
onde
é a média amostral,
é o valor sob a hipótese nula,
é o desvio padrão amostral e
é o tamanho da amostra. Os graus de liberdade são
.
Passo 3
Escrever as hipóteses (resposta do item a) de forma explícita — explico também por que escolhemos essa forma.
- A afirmação da propaganda é que a média não é maior que
. Para testar se há evidência de que a média é maior que , formulamos:
Isto é um teste unilateral à direita: a alternativa considera a média maior que
, porque a amostra sugere uma média acima de
.
Passo 4
Calcular a estatística de teste passo a passo.
- Substituindo números na fórmula:
- Primeiro calcule
:
- Agora a estatística
:
- Graus de liberdade:
Passo 5
Definir a região de rejeição (resposta do item b) com explicação do porquê.
- Como o teste é unilateral à direita e o nível de significância é
, rejeitamos se a estatística for maior que o quantil correspondente da distribuição t com de probabilidade . - O valor crítico é
. Consultando a tabela de Student (ou valor conhecido):
- Portanto a região de rejeição é:
- Como calculamos
e , já vemos que a estatística caiu na região de rejeição — isto indica rejeitar ao nível .
Passo 6
Calcular o
-valor (resposta do item c) — explicação do que é e como obter.
- O
-valor é a probabilidade, sob , de observar uma estatística tão extrema quanto a observada (ou mais) na direção da alternativa. Para um teste unilateral à direita:
onde
tem distribuição t com
graus de liberdade e
é o valor observado (
).
- Consultando a tabela de Student temos pontos de referência:
- Para
, (uma cauda ) e (uma cauda ).
- Para
- Nosso
está entre e . Isso significa que o -valor está entre e . - Fazendo uma interpolação linear aproximada entre esses pontos para melhorar a estimativa:
- distância total entre os t é
; - distância do ponto menor ao observado é
; - fração
. - interpolando entre
e : .
- distância total entre os t é
- Assim, o
-valor aproximado (unilateral) é:
- (Observação prática: softwares dão
. A precisão aqui é suficiente para tomada de decisão.)
Passo 7
Conclusão e interpretação (resposta do item d).
- Regra de decisão:
- Se
rejeita-se . - Aqui
e . Como , rejeitamos .
- Se
- Interpretação em palavras (calma e incentivadora):
- Rejeitar
significa que existe evidência estatística suficiente, ao nível de significância de , para concluir que a média de nicotina por cigarro é maior que . - Em termos práticos: os dados (média amostral
com e ) contradizem a afirmação da propaganda. Portanto a alegação de que “não há mais do que em média” não é sustentada pelos dados — temos evidência de que a média é maior que .
- Rejeitar
Resposta
(a)
\quad e \quad
(b) Região de rejeição: (usando a estatística
)
(c) (unilateral)
(d) Não. Rejeita-se ao nível de
; há evidência estatística de que a média de nicotina é maior que
.
(b) Região de rejeição:
(c)
(d) Não. Rejeita-se