[30 pontos] Uma propaganda de uma certa marca de cigarros afirma que não há mais do que 18 mg de nicotina por cigarro, em média. Sabendo que a concentração de nicotina em cigarros segue uma distribuição normal foi feito um teste com 18 cigarros no qual obteve-se uma média de 19,1 \mathrm{mg} de nicotina, e desvio padrão de 1,9 \mathrm{mg}. Você acha que a afirmação é verdadeira, considere um nível de significância de 5% e:
a. [7,5 pontos] Descreva as hipóteses a serem testadas:
b. [7,5 pontos] Defina a região de rejeição:
c. [7,5 pontos] Encontre o p-valor:
d. [7,5 pontos] A afirmação é verdadeira? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que respondamos quatro pontos (a–d):
  • Amostra de n=18 cigarros.
  • Média amostral de nicotina \bar{x}=19,1\\ \mathrm{mg}.
  • Desvio padrão amostral s=1,9\\ \mathrm{mg}.
  • Suposição: concentração segue uma distribuição normal.
  • Nível de significância \alpha=0,05.
  • Perguntas:
    (a) listar as hipóteses a testar;
    (b) definir a região de rejeição;
    (c) calcular o p-valor;
    (d) decidir se a afirmação da propaganda (que não há mais do que 18\\ \mathrm{mg} em média) é verdadeira, com justificativa.

Passo 2

Escolha do teste e por quê (explicação didática, passo a passo).
  • O que queremos testar é a média populacional \mu (a média verdadeira de nicotina por cigarro).
  • A propaganda diz que “não há mais do que 18\\ \mathrm{mg} em média”, isto é uma afirmação do tipo \mu \le 18. Para verificar se essa afirmação é plausível usamos um teste de hipóteses para a média.
  • Como a variância populacional não foi dada e a amostra é pequena ( n=18), devemos usar o teste t de Student (teste t para uma amostra). O teste t é adequado quando a população é (aproximadamente) normal e o desvio padrão populacional é desconhecido — então substituímos pelo desvio amostral s e usamos a distribuição t com n-1 graus de liberdade.
  • A estatística de teste (t) é dada por:
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde \bar{x} é a média amostral, \mu_0 é o valor sob a hipótese nula, s é o desvio padrão amostral e n é o tamanho da amostra. Os graus de liberdade são df=n-1.

Passo 3

Escrever as hipóteses (resposta do item a) de forma explícita — explico também por que escolhemos essa forma.
  • A afirmação da propaganda é que a média não é maior que 18. Para testar se há evidência de que a média é maior que 18, formulamos:
H_0:\\ \mu \le 18
H_1:\\ \mu > 18
Isto é um teste unilateral à direita: a alternativa considera a média maior que 18, porque a amostra sugere uma média acima de 18.

Passo 4

Calcular a estatística de teste passo a passo.
  • Substituindo números na fórmula:
\bar{x}=19,1,\qquad \mu_0=18,\qquad s=1,9,\qquad n=18.
  • Primeiro calcule s/\sqrt{n}:
\sqrt{n}=\sqrt{18}\approx 4,2426407,
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1,9}{\sqrt{18}}\approx\frac{1,9}{4,2426407}\approx 0,4472136.
  • Agora a estatística t:
t=\frac{19,1-18}{0,4472136}=\frac{1,1}{0,4472136}\approx 2,461.
  • Graus de liberdade:
df=n-1=17.

Passo 5

Definir a região de rejeição (resposta do item b) com explicação do porquê.
  • Como o teste é unilateral à direita e o nível de significância é \alpha=0,05, rejeitamos H_0 se a estatística t for maior que o quantil correspondente da distribuição t com df=17 de probabilidade 1-\alpha.
  • O valor crítico é t_{1-\alpha,\,17}=t_{0,95,\,17}. Consultando a tabela de Student (ou valor conhecido):
t_{0,95,\,17}\approx 1,740.
  • Portanto a região de rejeição é:
\text{Rejeitar }H_0\\ \text{se}\\ t>1,740.
  • Como calculamos t\approx 2,461 e 2,461>1,740, já vemos que a estatística caiu na região de rejeição — isto indica rejeitar H_0 ao nível \alpha=0,05.

Passo 6

Calcular o p-valor (resposta do item c) — explicação do que é e como obter.
  • O p-valor é a probabilidade, sob H_0, de observar uma estatística tão extrema quanto a observada (ou mais) na direção da alternativa. Para um teste unilateral à direita:
p\text{-valor}=P\big(T_{17}\ge t_{\text{obs}}\big)=1-F_{T_{17}}(t_{\text{obs}}),
onde T_{17} tem distribuição t com 17 graus de liberdade e t_{\text{obs}} é o valor observado ( \approx 2,461).
  • Consultando a tabela de Student temos pontos de referência:
    • Para df=17, t_{0,975}\approx 2,110 (uma cauda =0,025) e t_{0,99}\approx 2,567 (uma cauda =0,01).
  • Nosso t_{\text{obs}}=2,461 está entre 2,110 e 2,567. Isso significa que o p-valor está entre 0,01 e 0,025.
  • Fazendo uma interpolação linear aproximada entre esses pontos para melhorar a estimativa:
    • distância total entre os t é 2,567-2,110=0,457;
    • distância do ponto menor ao observado é 2,461-2,110=0,351;
    • fração =0,351/0,457\approx 0,768.
    • interpolando entre 0,025 e 0,01: p\approx 0,025 - 0,768(0,015)\approx 0,0135.
  • Assim, o p-valor aproximado (unilateral) é:
p\text{-valor}\approx 0,0135.
  • (Observação prática: softwares dão p\approx 0,013. A precisão aqui é suficiente para tomada de decisão.)

Passo 7

Conclusão e interpretação (resposta do item d).
  • Regra de decisão:
    • Se p\text{-valor}\le \alpha rejeita-se H_0.
    • Aqui p\text{-valor}\approx 0,0135 e \alpha=0,05. Como 0,0135<0,05, rejeitamos H_0.
  • Interpretação em palavras (calma e incentivadora):
    • Rejeitar H_0 significa que existe evidência estatística suficiente, ao nível de significância de 5\%, para concluir que a média de nicotina por cigarro é maior que 18\\ \mathrm{mg}.
    • Em termos práticos: os dados (média amostral 19,1\\ \mathrm{mg} com n=18 e s=1,9) contradizem a afirmação da propaganda. Portanto a alegação de que “não há mais do que 18\\ \mathrm{mg} em média” não é sustentada pelos dados — temos evidência de que a média é maior que 18\\ \mathrm{mg}.

Resposta

(a) H_0:\\ \mu \le 18 \quad e \quad H_1:\\ \mu > 18
(b) Região de rejeição: t>t_{0,95,\,17}\approx 1,740 (usando a estatística t=(\bar{x}-18)/(s/\sqrt{n}))
(c) p\text{-valor}\approx 0,0135 (unilateral)
(d) Não. Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%; há evidência estatística de que a média de nicotina é maior que 18\\ \mathrm{mg}.

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