[10 pontos] O crescimento decorrido num período de 15 dias para uma população de girassóis segue uma distribuição normal com média 3,28 \mathrm{~cm} e variância 0,52 \mathrm{~cm}. Há 15 dias atrás, uma amostra de 12 girassóis obteve crescimento médio de 2,90 \mathrm{~cm}. Hoje ao selecionar 12 girassóis, aleatoriamente, qual a probabilidade da média de crescimento dessas plantas ser maior que 3 cm ?

Passo 1

O enunciado pergunta a probabilidade da média de crescimento de uma amostra de 12 girassóis ser maior que 3\\ \mathrm{cm}, dado que:
  • A população de crescimento segue distribuição normal com média \mu = 3,28\\ \mathrm{cm}.
  • A variância populacional é \sigma^{2} = 0,52\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Hoje será selecionada uma amostra aleatória de tamanho n = 12.
    O que se pede explicitamente: calcular \mathbb{P}\big(\overline{X} > 3\big), onde \overline{X} é a média amostral dos 12 girassóis.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): quando se tira uma amostra de tamanho n de uma população normal com média \mu e variância \sigma^{2}, a média amostral \overline{X} também tem distribuição normal com:
\mathbb{E}(\overline{X})=\mu
e
\mathrm{Var}(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}.
Aqui:
  • \mu é a média verdadeira da população (aqui \mu=3,28).
  • \sigma^{2} é a variância verdadeira da população (aqui \sigma^{2}=0,52).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=12).
    Portanto \overline{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right). Isso é ótimo porque permite usar a normal padrão para achar probabilidades.

Passo 3

Calcular o desvio padrão populacional \sigma a partir da variância:
\sigma=\sqrt{0,52}\approx 0,7211\\ \mathrm{cm}.
Expliquei: a variância é o quadrado do desvio padrão, então tiramos raiz quadrada.

Passo 4

Calcular o erro padrão (desvio padrão da média amostral):
\mathrm{SE}=\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{0,52}}{\sqrt{12}}\approx\frac{0,7211}{3,4641}\approx 0,2082\\ \mathrm{cm}.
Comentário prático: o erro padrão nos diz o quão “espalhada” é a média amostral em torno de \mu. Amostras maiores diminuem esse erro.

Passo 5

Transformação para a normal padrão (padronização): para calcular \mathbb{P}\big(\overline{X}>3\big) usamos
Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\mathrm{SE}}\sim N(0,1).
Então
\mathbb{P}\big(\overline{X}>3\big)=\mathbb{P}\!\left(Z>\frac{3-\mu}{\mathrm{SE}}\right).
Substituindo os valores:
\frac{3-\mu}{\mathrm{SE}}=\frac{3-3,28}{0,2082}=\frac{-0,28}{0,2082}\approx -1,3448.

Passo 6

Calcular a probabilidade usando a simetria da normal padrão:
\mathbb{P}\big(\overline{X}>3\big)=\mathbb{P}(Z>-1,3448).
Pela simetria da normal, \mathbb{P}(Z>-a)=\Phi(a), onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Assim
\mathbb{P}\big(\overline{X}>3\big)=\Phi(1,3448).
Consultando tabela ou calculadora da normal padrão obtemos
\Phi(1,3448)\approx 0,911.
Interpretação: aproximadamente 91{,}1\% de probabilidade de a média amostral exceder 3\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Resumo didático rápido para a prova (receita de bolso):
  1. Identifique \mu, \sigma^{2} e n.
  2. Calcule \mathrm{SE}=\sqrt{\sigma^{2}/n}.
  3. Padronize com Z=(\text{limite}-\mu)/\mathrm{SE}.
  4. Use tabela/ \Phi para obter a probabilidade adequada (prestar atenção no sinal do Z e usar simetria se necessário).

Resposta

0,911

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