[10 pontos] O crescimento decorrido num período de 15 dias para uma população de girassóis segue uma distribuição normal com média 3,28 \mathrm{~cm} e variância 0,52 \mathrm{~cm}. Há 15 dias atrás, uma amostra de 12 girassóis obteve crescimento médio de 2,90 \mathrm{~cm}. Hoje ao selecionar 12 girassóis, aleatoriamente, qual a probabilidade da média de crescimento dessas plantas ser maior que 3 cm ?
Passo 1
O enunciado pergunta a probabilidade da média de crescimento de uma amostra de 12 girassóis ser maior que 3\\ \mathrm{cm}, dado que:
A população de crescimento segue distribuição normal com média \mu = 3,28\\ \mathrm{cm}.
A variância populacional é \sigma^{2} = 0,52\\ \mathrm{cm}^{2}.
Hoje será selecionada uma amostra aleatória de tamanho n = 12.
O que se pede explicitamente: calcular \mathbb{P}\big(\overline{X} > 3\big), onde \overline{X} é a média amostral dos 12 girassóis.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): quando se tira uma amostra de tamanho n de uma população normal com média \mu e variância \sigma^{2}, a média amostral \overline{X} também tem distribuição normal com:
\mathbb{E}(\overline{X})=\mu
e
\mathrm{Var}(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}.
Aqui:
\mu é a média verdadeira da população (aqui \mu=3,28).
\sigma^{2} é a variância verdadeira da população (aqui \sigma^{2}=0,52).
n é o tamanho da amostra (aqui n=12).
Portanto \overline{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right). Isso é ótimo porque permite usar a normal padrão para achar probabilidades.
Passo 3
Calcular o desvio padrão populacional \sigma a partir da variância:
\sigma=\sqrt{0,52}\approx 0,7211\\ \mathrm{cm}.
Expliquei: a variância é o quadrado do desvio padrão, então tiramos raiz quadrada.
Passo 4
Calcular o erro padrão (desvio padrão da média amostral):