• 4.20 A próxima tabela apresenta valores experimentais da velocidade do escoamento de água num tubo . Faça um gráfico da aceleração do escoamento em função do tempo para . Faça outros gráficos da aceleração em função do tempo admitindo que as velocidades são iguais as da tabela multiplicadas por 2 e por 5 .
0 0 11,2 2,47
1,8 0,52 12,3 2,56
3,1 0,98 13,9 2,52
4,0 1,16 15,0 2,47
5,5 1,40 16,4 2,41
6,9 1,77 17,5 2,13
8,1 1,92 18,4 2,01
10,0 2,16 20,0 1,74

Passo 1

O enunciado dá uma tabela de valores de tempo t e velocidade u(t) em m/s de 0 até 20 s e pede o gráfico da aceleração a(t)=tfracdudt. O conteúdo aqui é aproximação de derivada por diferenças finitas. Para resolver, precisamos estimar a(t) em cada ponto da tabela e então traçar a versus t. Em seguida vamos usar o fato de que, se a velocidade for multiplicada por um fator k, a aceleração também se multiplica por k.

Passo 2

Para aproximar a derivada usamos diferenças finitas centradas nos pontos internos e diferenças para frente e para trás nos extremos:
a(ti)approxui+1-ui-1ti+1-ti-1
para i=2,dots,n-1. No primeiro ponto ( i=1) usamos
a(t1)approxu2-u1t2-t1
e no último ( i=n)
a(tn)approxun-un-1tn-tn-1

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dados temos (arredondando a três casas decimais):
c|c t (s) & a(t) (m/s^2)hline 0 & 0,289 1,8 & 0,316 3,1 & 0,291 4,0 & 0,175 5,5 & 0,210 6,9 & 0,200 8,1 & 0,126 10,0 & 0,177 11,2 & 0,174 12,3 & 0,019 13,9 & -0,033 15,0 & -0,044 16,4 & -0,136 17,5 & -0,200 18,4 & -0,156 20,0 & -0,169
Estes pares l(t,a(t)r) são os pontos que ligamos para obter o gráfico de a versus t.

Passo 4

Para traçar o gráfico de a(t) basta colocar no eixo horizontal os tempos t e no vertical os valores de a(t) da tabela acima, unindo os pontos por uma linha suave. O perfil começa em aapprox0,29 em t=0, cresce até cerca de 0,32 em t=1,8, decai progressivamente até cruzar zero em torno de t=12 s e torna-se negativo, chegando a -0,20 perto de t=17,5 s.

Passo 5

Se definirmos novas velocidades
u2(t)=2,u(t), u5(t)=5,u(t),
então as acelerações serão
a2(t)=ddtu2(t)=2,a(t), a5(t)=5,a(t)
Logo basta multiplicar cada valor de a(t) na tabela por 2 (para o primeiro gráfico) e por 5 (para o segundo) e traçar os mesmos instantes t. Os gráficos terão a mesma forma, apenas escalados verticalmente.

Resposta

Segue a tabela de acelerações originais e, em seguida, a escala para os casos 2u e 5u. Com esses valores, basta plotar três curvas a(t) versus t, 2a(t) versus t e 5a(t) versus t.
c|ccc t (s) & a(t) & 2a(t) & 5a(t)hline 0 & 0,289 & 0,578 & 1,445 1,8 & 0,316 & 0,632 & 1,580 3,1 & 0,291 & 0,582 & 1,455 4,0 & 0,175 & 0,350 & 0,875 5,5 & 0,210 & 0,420 & 1,050 6,9 & 0,200 & 0,400 & 1,000 8,1 & 0,126 & 0,252 & 0,630 10,0 & 0,177 & 0,354 & 0,885 11,2 & 0,174 & 0,348 & 0,870 12,3 & 0,019 & 0,038 & 0,095 13,9 & -0,033& -0,066 & -0,165 15,0 & -0,044& -0,088 & -0,220 16,4 & -0,136& -0,272 & -0,680 17,5 & -0,200& -0,400 & -1,000 18,4 & -0,156& -0,312 & -0,780 20,0 & -0,169& -0,338 & -0,845
Cada coluna pode ser plotada contra t para obter os três gráficos pedidos.

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