- 4.20 A próxima tabela apresenta valores experimentais da velocidade do escoamento de água num tubo
. Faça um gráfico da aceleração do escoamento em função do tempo para
. Faça outros gráficos da aceleração em função do tempo admitindo que as velocidades são iguais as da tabela multiplicadas por 2 e por 5 .
0
0
11,2
2,47
1,8
0,52
12,3
2,56
3,1
0,98
13,9
2,52
4,0
1,16
15,0
2,47
5,5
1,40
16,4
2,41
6,9
1,77
17,5
2,13
8,1
1,92
18,4
2,01
10,0
2,16
20,0
1,74
|
|
|
|
0 | 0 | 11,2 | 2,47 |
1,8 | 0,52 | 12,3 | 2,56 |
3,1 | 0,98 | 13,9 | 2,52 |
4,0 | 1,16 | 15,0 | 2,47 |
5,5 | 1,40 | 16,4 | 2,41 |
6,9 | 1,77 | 17,5 | 2,13 |
8,1 | 1,92 | 18,4 | 2,01 |
10,0 | 2,16 | 20,0 | 1,74 |
Passo 1
O enunciado dá uma tabela de valores de tempo
e velocidade
em
de 0 até 20 s e pede o gráfico da aceleração
. O conteúdo aqui é aproximação de derivada por diferenças finitas. Para resolver, precisamos estimar
em cada ponto da tabela e então traçar
versus
. Em seguida vamos usar o fato de que, se a velocidade for multiplicada por um fator
, a aceleração também se multiplica por
.
Passo 2
Para aproximar a derivada usamos diferenças finitas centradas nos pontos internos e diferenças para frente e para trás nos extremos:
para
. No primeiro ponto (
) usamos
e no último (
)
Passo 3
Aplicando a fórmula aos dados temos (arredondando a três casas decimais):
Estes pares
são os pontos que ligamos para obter o gráfico de
versus
.
Passo 4
Para traçar o gráfico de
basta colocar no eixo horizontal os tempos
e no vertical os valores de
da tabela acima, unindo os pontos por uma linha suave. O perfil começa em
em
, cresce até cerca de
em
, decai progressivamente até cruzar zero em torno de
s e torna-se negativo, chegando a
perto de
s.
Passo 5
Se definirmos novas velocidades
então as acelerações serão
Logo basta multiplicar cada valor de
na tabela por 2 (para o primeiro gráfico) e por 5 (para o segundo) e traçar os mesmos instantes
. Os gráficos terão a mesma forma, apenas escalados verticalmente.
Resposta
Segue a tabela de acelerações originais e, em seguida, a escala para os casos
e
. Com esses valores, basta plotar três curvas
versus
,
versus
e
versus
.
Cada coluna pode ser plotada contra
para obter os três gráficos pedidos.