4.19 O campo de velocidade do escoamento de água num certo tubo é dado por
,
e
(
é medido em m/s e
em segundos) após a abertura de uma válvula. Determine a velocidade e a aceleração máximas deste escoamento.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade unidimensional
em que
é em m/s e
. Precisamos encontrar (a) a velocidade máxima desse escoamento e (b) a aceleração máxima. Para isso, vamos usar teoria de máximos de funções reais de uma variável: calcular derivadas, verificar monotonicidade e limites.
Passo 2
A velocidade instantânea (módulo da velocidade) é
Para achar máximos de
em
, calculamos sua derivada e analisamos sinal.
Passo 3
Derivando em relação a
:
Como
para todo
,
é estritamente crescente em
. Portanto não há máximo interno; o valor máximo ocorre no limite
:
Passo 4
A aceleração é o vetor derivada da velocidade:
O módulo da aceleração é
que é função decrescente em
. Logo o valor máximo ocorre em
:
Resposta
Velocidade máxima:
m/s (atingida assintoticamente quando
).
Aceleração máxima: m/
(no instante
).
Aceleração máxima: