4.19 O campo de velocidade do escoamento de água num certo tubo é dado por u=10(1-e^-t), v=0 e w=0 ( u é medido em m/s e t em segundos) após a abertura de uma válvula. Determine a velocidade e a aceleração máximas deste escoamento.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade unidimensional
u(t)=10l(1-e^-tr), v=0, w=0,
em que u é em m/s e t>=0. Precisamos encontrar (a) a velocidade máxima desse escoamento e (b) a aceleração máxima. Para isso, vamos usar teoria de máximos de funções reais de uma variável: calcular derivadas, verificar monotonicidade e limites.

Passo 2

A velocidade instantânea (módulo da velocidade) é
| v(t)| ;=; |u(t)| ;=; 10l(1-e^-tr)
Para achar máximos de | v(t)| em t>=0, calculamos sua derivada e analisamos sinal.

Passo 3

Derivando em relação a t:
ddtl[10(1-e^-t)r] =10cdot e^-t
Como 10e^-t>0 para todo t>=0, | v(t)| é estritamente crescente em [0,infty). Portanto não há máximo interno; o valor máximo ocorre no limite ttoinfty:
limttoinfty10l(1-e^-tr)=10

Passo 4

A aceleração é o vetor derivada da velocidade:
a(t)=l(dot u(t),0,0r), dot u(t)=dudt=10e^-t
O módulo da aceleração é
| a(t)|=10e^-t,
que é função decrescente em t>=0. Logo o valor máximo ocorre em t=0:
| a(0)|=10cdot e^0=10

Resposta

Velocidade máxima: 10 m/s (atingida assintoticamente quando ttoinfty).
Aceleração máxima: 10 m/ s^2 (no instante t=0).

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