1. Verdadeiro ou Falso:
(d) Não existem \vec{u} e \vec{v} tais que \operatorname{ang}(\vec{u}, \vec{v})=\operatorname{arcsen}(-1 / 2).

Passo 1

O enunciado pergunta se existem vetores \vec{u} e \vec{v} tais que
\operatorname{ang}(\vec{u},\vec{v})=\operatorname{arcsen}(-1/2).
Informações relevantes dadas ou implícitas:
  • O valor de \operatorname{arcsen}(-1/2) (no ramo principal) é um número real específico.
  • A notação \operatorname{ang}(\vec{u},\vec{v}) representa o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Definição e intervalo do ângulo entre vetores: o ângulo \theta=\operatorname{ang}(\vec{u},\vec{v}) entre dois vetores não nulos é normalmente definido por
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|},
onde \|\cdot\| é a norma euclidiana e \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar. Como o lado direito pertence a [-1,1], tem-se
\theta\in[0,\pi].
Em palavras: o ângulo entre vetores é o menor ângulo não-negativo que separa as direções dos vetores, logo está no intervalo [0,\pi].

Passo 3

Propriedade da função \operatorname{arcsen} (ramo principal) e valor numérico: a função \operatorname{arcsen}\colon[-1,1]\to[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]. Em particular
\operatorname{arcsen}\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{\pi}{6},
pois \sin\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac{1}{2}. Portanto \operatorname{arcsen}(-1/2)=-\tfrac{\pi}{6}, um ângulo negativo (aprox. -30^\circ).

Passo 4

Comparação dos intervalos e conclusão: como \operatorname{ang}(\vec{u},\vec{v}) só pode assumir valores em [0,\pi] e \operatorname{arcsen}(-1/2)=-\tfrac{\pi}{6}\notin[0,\pi], não existem vetores \vec{u} e \vec{v} com
\operatorname{ang}(\vec{u},\vec{v})=\operatorname{arcsen}(-1/2).
Observação final (para clarear uma possível dúvida): alguém poderia tentar usar ângulos equivalentes módulo 2\pi, mas o ângulo entre vetores é por convenção o valor no intervalo [0,\pi], então não vale usar um ângulo negativo ou \!-\tfrac{\pi}{6}+2\pi — a definição proíbe.

Resposta

Verdadeiro.

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